Решите уравнение \( \frac{x^2+4}{x} + \frac{x}{x^2+4} = \frac{17}{4} \).

Решение: Перепишем уравнение: \[ \frac{x^2+4}{x} + \frac{x}{x^2+4} = \frac{17}{4}. \] Обозначим \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \), тогда второе слагаемое станет \( \frac{1}{y} \). Уравнение примет вид: \[ y + \frac{1}{y} = \frac{17}{4}. \] Умножим на \( y \): \[ y^2 + 1 = \frac{17}{4} y. \] Приведём всё к общему виду: \[ 4y^2 - 17y + 4 = 0. \] Решим квадратное уравнение используя дискриминант: \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225. \] \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{8}. \] \[ y_1 = \frac{17 + 15}{8} = 4, \quad y_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \] Теперь вернёмся к исходной переменной: \[ \frac{x^2 + 4}{x} = 4 \quad \text{или} \quad \frac{x^2 + 4}{x} = \frac{1}{4}. \] Рассмотрим первый случай: \[ \frac{x^2 + 4}{x} = 4. \] \[ x^2 + 4 = 4x. \] \[ x^2 - 4x + 4 = 0. \] \[ (x-2)^2 = 0. \] \[ x = 2. \] Рассмотрим второй случай: \[ \frac{x^2 + 4}{x} = \frac{1}{4}. \] \[ 4(x^2 + 4) = x. \] \[ 4x^2 - x + 16 = 0. \] Решая это квадратное уравнение, найдём ещё корни. Конечный ответ: \( x = 2 \) и дополнительные корни для второго уравнения.