Решите уравнение $$\log_x(x^2 + 7) = \log_x(6x + 2)$$.

Решим уравнение $$\log_x(x^2 + 7) = \log_x(6x + 2)$$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • $$x > 0$$
   • $$x
     eq 1$$
   • $$x^2 + 7 > 0$$, что выполняется всегда.
   • $$6x + 2 > 0$$
   • $$6x > -2$$
   • $$x > -\frac{2}{6}$$
   • $$x > -\frac{1}{3}$$
   Итак, ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x
   eq 1$$.
2. Т.к. основания логарифмов одинаковы, приравняем выражения под знаком логарифма:$$x^2 + 7 = 6x + 2$$
3. Перенесем все в левую часть:$$x^2 - 6x + 5 = 0$$
4. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$
5. Найдем корни:$$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$$$$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
6. Проверим корни на принадлежность ОДЗ:
   • $$x_1 = 5$$ принадлежит ОДЗ, т.к. $$5 > 0$$ и $$5
     eq 1$$.
   • $$x_2 = 1$$ не принадлежит ОДЗ, т.к. $$x
     eq 1$$.

Таким образом, решением уравнения является только $$x = 5$$.

Ответ: $$x = 5$$