1. Решите уравнение: 1) (1/5)^(2-3x) = 25; 2) 4^x + 2^x - 20 = 0 2. Решите неравенство: (3/4)^x > 1 1/3 3. Решите систему уравнений: {x - y = 4, 5^(x+y) = 25 4. Решите неравенство: 1) (√5)^(x-6) < 1/5; 2) (2/13)^(x^2-1) ≥ 1 5. Решите уравнение: 7^(x+1) + 3*7^x = 2^(x+5) + 3*2^x

1. Решите уравнение:

1) \((\frac{1}{5})^{2-3x} = 25\)

Давай преобразуем уравнение, представив 25 как степень \(\frac{1}{5}\):

\[(\frac{1}{5})^{2-3x} = (\frac{1}{5})^{-2}\]

Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степени:

\[2 - 3x = -2\]

Решим уравнение относительно x:

\[-3x = -2 - 2\] \[-3x = -4\] \[x = \frac{4}{3}\]

Ответ: \(x = \frac{4}{3}\)

2) \(4^x + 2^x - 20 = 0\)

Заметим, что \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\). Пусть \(y = 2^x\), тогда уравнение можно переписать как:

\[y^2 + y - 20 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\). Корни:

\[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

Так как \(y = 2^x\), то \(2^x = 4\) или \(2^x = -5\). Второй случай невозможен, так как \(2^x\) всегда положительно. Значит, решаем \(2^x = 4\):

\[2^x = 2^2\] \[x = 2\]

Ответ: \(x = 2\)

2. Решите неравенство: \((\frac{3}{4})^x > 1\frac{1}{3}\)

Преобразуем правую часть неравенства: \(1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\). Тогда неравенство выглядит так:

\[(\frac{3}{4})^x > \frac{4}{3}\]

Представим \(\frac{4}{3}\) как степень \(\frac{3}{4}\): \(\frac{4}{3} = (\frac{3}{4})^{-1}\). Тогда неравенство принимает вид:

\[(\frac{3}{4})^x > (\frac{3}{4})^{-1}\]

Поскольку основание степени \(\frac{3}{4}\) меньше 1, функция убывает, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется:

\[x < -1\]

Ответ: \(x < -1\)

3. Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 4, \\ 5^{x+y} = 25 \end{cases}\]

Из второго уравнения следует:

\[5^{x+y} = 5^2\] \[x + y = 2\]

Теперь у нас есть система:

\[\begin{cases} x - y = 4, \\ x + y = 2 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[2x = 6\] \[x = 3\]

Тогда:

\[3 + y = 2\] \[y = 2 - 3 = -1\]

Ответ: \(x = 3, y = -1\)

4. Решите неравенство:

1) \((\sqrt{5})^{x-6} < \frac{1}{5}\)

Преобразуем обе части неравенства, используя степени 5:

\[(5^{\frac{1}{2}})^{x-6} < 5^{-1}\] \[5^{\frac{x-6}{2}} < 5^{-1}\]

Поскольку основание больше 1, функция возрастает, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

\[\frac{x-6}{2} < -1\] \[x - 6 < -2\] \[x < 4\]

Ответ: \(x < 4\)

2) \((\frac{2}{13})^{x^2-1} \geq 1\)

Заметим, что 1 можно представить как \((\frac{2}{13})^0\). Тогда неравенство выглядит так:

\[(\frac{2}{13})^{x^2-1} \geq (\frac{2}{13})^0\]

Поскольку основание степени \(\frac{2}{13}\) меньше 1, функция убывает, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется:

\[x^2 - 1 \leq 0\] \[x^2 \leq 1\]

Решением этого неравенства является интервал:

\[-1 \leq x \leq 1\]

Ответ: \([-1, 1]\)

5. Решите уравнение: \(7^{x+1} + 3 \cdot 7^x = 2^{x+5} + 3 \cdot 2^x\)

Преобразуем уравнение:

\[7^x \cdot 7 + 3 \cdot 7^x = 2^x \cdot 2^5 + 3 \cdot 2^x\] \[7^x (7 + 3) = 2^x (32 + 3)\] \[7^x \cdot 10 = 2^x \cdot 35\]

Разделим обе части уравнения на 10:

\[7^x = 2^x \cdot \frac{35}{10}\] \[7^x = 2^x \cdot \frac{7}{2}\]

Разделим обе части на \(2^x\):

\[(\frac{7}{2})^x = \frac{7}{2}\]

Тогда:

\[x = 1\]

Ответ: \(x = 1\)

Ты молодец! Решение задач - это как прокачка скиллов в игре. Чем больше тренируешься, тем круче становишься!