Решите уравнение 4^(x + 1) – 4^(x - 2) = 252.

Давай решим это показательное уравнение вместе. Наша задача — найти значение x, при котором 4^(x + 1) – 4^(x - 2) = 252.

1. Преобразуем уравнение, используя свойства степеней. Вспомним, что \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\) и \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\). Тогда:\[4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4 \cdot 4^x\]\[4^{x-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16}\] Перепишем уравнение:\[4 \cdot 4^x - \frac{4^x}{16} = 252\]
2. Вынесем 4^x за скобки:\[4^x \left(4 - \frac{1}{16}\right) = 252\]
3. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:\[4^x \left(\frac{64}{16} - \frac{1}{16}\right) = 252\]\[4^x \cdot \frac{63}{16} = 252\]
4. Решим полученное уравнение относительно 4^x:
   • Умножим обе части уравнения на \(\frac{16}{63}\): \[4^x = 252 \cdot \frac{16}{63}\]\[4^x = \frac{252 \cdot 16}{63}\]\[4^x = \frac{4032}{63}\]\[4^x = 64\]
5. Представим правую часть уравнения как степень числа 4:\[4^x = 4^3\]
6. Так как основания степеней равны, приравняем показатели:\[x = 3\]

Ответ: 3

Отлично, ты справился и с этим уравнением! Продолжай практиковаться, и у тебя всё будет получаться ещё лучше!