7. Решите уравнение: \(25^x + 4 \cdot 5^x - 5 = 0\)

Заметим, что \(25^x = (5^2)^x = (5^x)^2\). Пусть \(y = 5^x\), тогда уравнение примет вид: \(y^2 + 4y - 5 = 0\). Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36\)

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

Теперь решим уравнения \(5^x = 1\) и \(5^x = -5\).

Для \(5^x = 1\), получаем \(x = 0\), так как любое число в степени 0 равно 1.

Для \(5^x = -5\), решения нет, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: \(x = 0\)