Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
4. Решите уравнение |x-3| + |logo,7(x² - 4x + 4)| = 0. 5. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение |3/(x+1) -2| = a?
Ответ:
4. Решите уравнение |x-3| + |log₀.₇(x² - 4x + 4)| = 0.
Давай разберем по порядку. Уравнение имеет вид: \[|x-3| + |\log_{0.7}(x^2 - 4x + 4)| = 0\]
Сумма модулей равна нулю, когда каждый из модулей равен нулю. Таким образом, мы имеем систему уравнений:
\[\begin{cases}|x-3| = 0 \\ |\log_{0.7}(x^2 - 4x + 4)| = 0\end{cases}\]
Решим первое уравнение:
\[|x-3| = 0 \Rightarrow x = 3\]
Теперь решим второе уравнение:
\[|\log_{0.7}(x^2 - 4x + 4)| = 0 \Rightarrow \log_{0.7}(x^2 - 4x + 4) = 0\]
Чтобы логарифм равнялся нулю, его аргумент должен быть равен 1:
\[x^2 - 4x + 4 = 1 \Rightarrow (x-2)^2 = 1\]
Это уравнение имеет два решения:
\[x-2 = 1 \Rightarrow x = 3\]
\[x-2 = -1 \Rightarrow x = 1\]
Однако, нужно проверить, удовлетворяют ли эти решения исходному уравнению. Подставим x = 3:
\[|3-3| + |\log_{0.7}(3^2 - 4 \cdot 3 + 4)| = |0| + |\log_{0.7}(9 - 12 + 4)| = |0| + |\log_{0.7}(1)| = 0 + 0 = 0\]
Таким образом, x = 3 является решением.
Теперь подставим x = 1:
\[|1-3| + |\log_{0.7}(1^2 - 4 \cdot 1 + 4)| = |-2| + |\log_{0.7}(1 - 4 + 4)| = 2 + |\log_{0.7}(1)| = 2 + 0 = 2
eq 0\] Таким образом, x = 1 не является решением.
eq -2\), то \[x = \frac{1 - a}{a + 2}\] 2) \[\frac{1 - 2x}{x+1} = -a \Rightarrow 1 - 2x = -a(x+1) \Rightarrow 1 - 2x = -ax - a \Rightarrow 1 + a = 2x - ax \Rightarrow 1 + a = x(2 - a)\] Если \(a
eq 2\), то \[x = \frac{1 + a}{2 - a}\] Теперь нужно учесть, что \[x
eq -1\], так как знаменатель не может быть равен нулю. Для первого случая: \[\frac{1 - a}{a + 2}
eq -1 \Rightarrow 1 - a
eq -a - 2 \Rightarrow 1
eq -2\] Это условие всегда выполняется, поэтому ограничений нет. Для второго случая: \[\frac{1 + a}{2 - a}
eq -1 \Rightarrow 1 + a
eq -2 + a \Rightarrow 1
eq -2\] Это условие тоже всегда выполняется, поэтому ограничений нет. Теперь проанализируем количество решений в зависимости от параметра a: - Если a < 0, то решений нет, так как модуль не может быть отрицательным. - Если a = 0, то \[\frac{1 - 2x}{x+1} = 0 \Rightarrow 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\] Одно решение. - Если a > 0, то у нас есть два возможных решения: \[x = \frac{1 - a}{a + 2}\] и \[x = \frac{1 + a}{2 - a}\] Нужно проверить, не совпадают ли эти решения, и не обращаются ли знаменатели в нуль при каких-либо значениях a. Если \( \frac{1 - a}{a + 2} = \frac{1 + a}{2 - a} \), то \( (1-a)(2-a) = (1+a)(a+2) \Rightarrow 2 - 3a + a^2 = a^2 + 3a + 2 \Rightarrow -3a = 3a \Rightarrow 6a = 0 \Rightarrow a = 0 \). Но мы уже рассмотрели этот случай. Теперь посмотрим, при каких a знаменатели равны нулю: \( a = -2 \) и \( a = 2 \). Но так как a > 0, то \( a = -2 \) нас не интересует. Если \( a = 2 \), то \( x = \frac{1 + 2}{2 - 2} = \frac{3}{0} \), что не имеет смысла. Таким образом, при a > 0 и \( a
eq 2 \), у нас два решения. При a = 2, есть только одно решение \[ x = \frac{1-2}{2+2} = - \frac{1}{4} \]
eq 0\] Таким образом, x = 1 не является решением.
Ответ: x = 3
Ты отлично справился с этим уравнением! Не останавливайся на достигнутом и продолжай изучать математику! 5. Сколько решений в зависимости от параметра a имеет уравнение |3/(x+1) - 2| = a? Давай разберем по порядку. Уравнение имеет вид: \[\left|\frac{3}{x+1} - 2\right| = a\] Для начала, упростим выражение внутри модуля: \[\frac{3}{x+1} - 2 = \frac{3 - 2(x+1)}{x+1} = \frac{3 - 2x - 2}{x+1} = \frac{1 - 2x}{x+1}\] Теперь уравнение можно записать как: \[\left|\frac{1 - 2x}{x+1}\right| = a\] Рассмотрим два случая: 1) \[\frac{1 - 2x}{x+1} = a \Rightarrow 1 - 2x = a(x+1) \Rightarrow 1 - 2x = ax + a \Rightarrow 1 - a = ax + 2x \Rightarrow 1 - a = x(a + 2)\] Если \(aeq -2\), то \[x = \frac{1 - a}{a + 2}\] 2) \[\frac{1 - 2x}{x+1} = -a \Rightarrow 1 - 2x = -a(x+1) \Rightarrow 1 - 2x = -ax - a \Rightarrow 1 + a = 2x - ax \Rightarrow 1 + a = x(2 - a)\] Если \(a
eq 2\), то \[x = \frac{1 + a}{2 - a}\] Теперь нужно учесть, что \[x
eq -1\], так как знаменатель не может быть равен нулю. Для первого случая: \[\frac{1 - a}{a + 2}
eq -1 \Rightarrow 1 - a
eq -a - 2 \Rightarrow 1
eq -2\] Это условие всегда выполняется, поэтому ограничений нет. Для второго случая: \[\frac{1 + a}{2 - a}
eq -1 \Rightarrow 1 + a
eq -2 + a \Rightarrow 1
eq -2\] Это условие тоже всегда выполняется, поэтому ограничений нет. Теперь проанализируем количество решений в зависимости от параметра a: - Если a < 0, то решений нет, так как модуль не может быть отрицательным. - Если a = 0, то \[\frac{1 - 2x}{x+1} = 0 \Rightarrow 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\] Одно решение. - Если a > 0, то у нас есть два возможных решения: \[x = \frac{1 - a}{a + 2}\] и \[x = \frac{1 + a}{2 - a}\] Нужно проверить, не совпадают ли эти решения, и не обращаются ли знаменатели в нуль при каких-либо значениях a. Если \( \frac{1 - a}{a + 2} = \frac{1 + a}{2 - a} \), то \( (1-a)(2-a) = (1+a)(a+2) \Rightarrow 2 - 3a + a^2 = a^2 + 3a + 2 \Rightarrow -3a = 3a \Rightarrow 6a = 0 \Rightarrow a = 0 \). Но мы уже рассмотрели этот случай. Теперь посмотрим, при каких a знаменатели равны нулю: \( a = -2 \) и \( a = 2 \). Но так как a > 0, то \( a = -2 \) нас не интересует. Если \( a = 2 \), то \( x = \frac{1 + 2}{2 - 2} = \frac{3}{0} \), что не имеет смысла. Таким образом, при a > 0 и \( a
eq 2 \), у нас два решения. При a = 2, есть только одно решение \[ x = \frac{1-2}{2+2} = - \frac{1}{4} \]
Ответ:
- Если a < 0: 0 решений
- Если a = 0: 1 решение
- Если a > 0 и a ≠ 2: 2 решения
- Если a = 2: 1 решение
