685. Решите уравнение: 1) |x²+10x-4| = 20; 2) x|x| + 12x - 45 = 0; 3) x³/|x| - 14x - 15 = 0; 4) x²-8√x²-9= 0.

1) |x²+10x-4| = 20

Решим уравнение с модулем. Модуль раскрывается в двух случаях:

1. Если выражение под модулем неотрицательно, то модуль раскрывается без изменения знака:

   $$x^2 + 10x - 4 = 20$$ $$x^2 + 10x - 24 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$

   Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $$x^2 + 10x - 4 \geq 0$$:

   Для x = 2:

   $$2^2 + 10 \cdot 2 - 4 = 4 + 20 - 4 = 20 \geq 0$$

   Для x = -12:

   $$(-12)^2 + 10 \cdot (-12) - 4 = 144 - 120 - 4 = 20 \geq 0$$

   Оба корня удовлетворяют условию.

2. Если выражение под модулем отрицательно, то модуль раскрывается с изменением знака:

   $$x^2 + 10x - 4 = -20$$ $$x^2 + 10x + 16 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$$ $$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

   Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $$x^2 + 10x - 4 < 0$$:

   Для x = -2:

   $$(-2)^2 + 10 \cdot (-2) - 4 = 4 - 20 - 4 = -20 < 0$$

   Для x = -8:

   $$(-8)^2 + 10 \cdot (-8) - 4 = 64 - 80 - 4 = -20 < 0$$

   Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: -12; -8; -2; 2

2) x|x| + 12x - 45 = 0

Решим уравнение, рассматривая два случая:

1. Если x ≥ 0, то |x| = x: $$x \cdot x + 12x - 45 = 0$$ $$x^2 + 12x - 45 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$

   Так как рассматриваем случай x ≥ 0, то x = 3.

2. Если x < 0, то |x| = -x: $$x \cdot (-x) + 12x - 45 = 0$$ $$-x^2 + 12x - 45 = 0$$ $$x^2 - 12x + 45 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 144 - 180 = -36$$

   Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.

Ответ: 3

3) x³/|x| - 14x - 15 = 0

Рассмотрим два случая:

1. Если x > 0, то |x| = x: $$\frac{x^3}{x} - 14x - 15 = 0$$ $$x^2 - 14x - 15 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

   Так как рассматриваем случай x > 0, то x = 15.

2. Если x < 0, то |x| = -x: $$\frac{x^3}{-x} - 14x - 15 = 0$$ $$-x^2 - 14x - 15 = 0$$ $$x^2 + 14x + 15 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 196 - 60 = 136$$ $$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{136}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 2\sqrt{34}}{2} = -7 + \sqrt{34}$$ $$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{136}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 2\sqrt{34}}{2} = -7 - \sqrt{34}$$

   Так как рассматриваем случай x < 0, оба корня подходят. $$(-7 + \sqrt{34} < 0)$$ и $$(-7 - \sqrt{34} < 0)$$

Ответ: -7 - √34; -7 + √34; 15

4) x²-8√x²-9= 0.

Обозначим $$t = \sqrt{x^2-9}$$, тогда $$t^2 = x^2 - 9$$, а $$x^2 = t^2 + 9$$. Уравнение примет вид:

$$t^2 + 9 - 8t = 0$$ $$t^2 - 8t + 9 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28$$ $$t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{28}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{7}}{2} = 4 + \sqrt{7}$$ $$t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{28}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{2} = 4 - \sqrt{7}$$

Возвращаемся к замене $$\sqrt{x^2 - 9} = t$$

1. $$\sqrt{x^2 - 9} = 4 + \sqrt{7}$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$x^2 - 9 = (4 + \sqrt{7})^2$$ $$x^2 - 9 = 16 + 8\sqrt{7} + 7$$ $$x^2 = 32 + 8\sqrt{7}$$ $$x = \pm \sqrt{32 + 8\sqrt{7}}$$
2. $$\sqrt{x^2 - 9} = 4 - \sqrt{7}$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$x^2 - 9 = (4 - \sqrt{7})^2$$ $$x^2 - 9 = 16 - 8\sqrt{7} + 7$$ $$x^2 = 32 - 8\sqrt{7}$$ $$x = \pm \sqrt{32 - 8\sqrt{7}}$$

Ответ: -√(32 - 8√7); -√(32 + 8√7); √(32 - 8√7); √(32 + 8√7)