Решите уравнение (11.29—11.31): 9* a) sinx-3 sin x cos x + 2 cosx = 0; 6) sinx + 3 sin x cos x - 4 cosx = 0; B) 5 sinx - 7 sin x cos x + 4 cos x = 1; 5 sinx - 17 sin x cos x + 4 cosx + 4 = 0; r) 5 sin д) 3 cos²x-sin 2x = 0,5; e) sin 2x + 5 sin² x = 1,5.

1. a) sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos²x = 0

   Разделим обе части уравнения на cos²x (предполагая, что cos x ≠ 0):

   tg²x - 3 tg x + 2 = 0

   Пусть t = tg x, тогда:

   t² - 3t + 2 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1

   t₁ = (3 + 1) / 2 = 2

   t₂ = (3 - 1) / 2 = 1

   Возвращаемся к tg x:

   tg x = 2 => x = arctg(2) + πn, n ∈ Z

   tg x = 1 => x = π/4 + πk, k ∈ Z

2. б) sin²x + 3 sin x cos x - 4 cos²x = 0

   Разделим обе части уравнения на cos²x (предполагая, что cos x ≠ 0):

   tg²x + 3 tg x - 4 = 0

   Пусть t = tg x, тогда:

   t² + 3t - 4 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   D = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

   t₁ = (-3 + 5) / 2 = 1

   t₂ = (-3 - 5) / 2 = -4

   Возвращаемся к tg x:

   tg x = 1 => x = π/4 + πn, n ∈ Z

   tg x = -4 => x = arctg(-4) + πk, k ∈ Z

3. в) 5 sin²x - 7 sin x cos x + 4 cos²x = 1

   Используем основное тригонометрическое тождество: 1 = sin²x + cos²x

   5 sin²x - 7 sin x cos x + 4 cos²x = sin²x + cos²x

   4 sin²x - 7 sin x cos x + 3 cos²x = 0

   Разделим обе части уравнения на cos²x (предполагая, что cos x ≠ 0):

   4 tg²x - 7 tg x + 3 = 0

   Пусть t = tg x, тогда:

   4t² - 7t + 3 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   D = (-7)² - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1

   t₁ = (7 + 1) / 8 = 1

   t₂ = (7 - 1) / 8 = 3/4

   Возвращаемся к tg x:

   tg x = 1 => x = π/4 + πn, n ∈ Z

   tg x = 3/4 => x = arctg(3/4) + πk, k ∈ Z

4. г) 5 sin²x - 17 sin x cos x + 4 cos²x + 4 = 0

   Используем основное тригонометрическое тождество: 4 = 4(sin²x + cos²x)

   5 sin²x - 17 sin x cos x + 4 cos²x + 4(sin²x + cos²x) = 0

   9 sin²x - 17 sin x cos x + 8 cos²x = 0

   Разделим обе части уравнения на cos²x (предполагая, что cos x ≠ 0):

   9 tg²x - 17 tg x + 8 = 0

   Пусть t = tg x, тогда:

   9t² - 17t + 8 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   D = (-17)² - 4 * 9 * 8 = 289 - 288 = 1

   t₁ = (17 + 1) / 18 = 1

   t₂ = (17 - 1) / 18 = 8/9

   Возвращаемся к tg x:

   tg x = 1 => x = π/4 + πn, n ∈ Z

   tg x = 8/9 => x = arctg(8/9) + πk, k ∈ Z

5. д) 3 cos²x - sin 2x = 0,5

   Используем формулу двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x и основное тригонометрическое тождество: 1 = sin²x + cos²x

   3 cos²x - 2 sin x cos x = 0,5(sin²x + cos²x)

   3 cos²x - 2 sin x cos x = 0,5 sin²x + 0,5 cos²x

   2,5 cos²x - 2 sin x cos x - 0,5 sin²x = 0

   Умножим на 2:

   5 cos²x - 4 sin x cos x - sin²x = 0

   Разделим обе части уравнения на cos²x (предполагая, что cos x ≠ 0):

   5 - 4 tg x - tg²x = 0

   tg²x + 4 tg x - 5 = 0

   Пусть t = tg x, тогда:

   t² + 4t - 5 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   D = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

   t₁ = (-4 + 6) / 2 = 1

   t₂ = (-4 - 6) / 2 = -5

   Возвращаемся к tg x:

   tg x = 1 => x = π/4 + πn, n ∈ Z

   tg x = -5 => x = arctg(-5) + πk, k ∈ Z

6. e) sin 2x + 5 sin² x = 1,5

   Используем формулу двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x и основное тригонометрическое тождество: 1 = sin²x + cos²x

   2 sin x cos x + 5 sin²x = 1,5(sin²x + cos²x)

   2 sin x cos x + 5 sin²x = 1,5 sin²x + 1,5 cos²x

   3,5 sin²x + 2 sin x cos x - 1,5 cos²x = 0

   Умножим на 2:

   7 sin²x + 4 sin x cos x - 3 cos²x = 0

   Разделим обе части уравнения на cos²x (предполагая, что cos x ≠ 0):

   7 tg²x + 4 tg x - 3 = 0

   Пусть t = tg x, тогда:

   7t² + 4t - 3 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   D = 4² - 4 * 7 * (-3) = 16 + 84 = 100

   t₁ = (-4 + 10) / 14 = 3/7

   t₂ = (-4 - 10) / 14 = -1

   Возвращаемся к tg x:

   tg x = 3/7 => x = arctg(3/7) + πn, n ∈ Z

   tg x = -1 => x = -π/4 + πk, k ∈ Z

Ответ: x = arctg(2) + πn, x = π/4 + πk; x = arctg(-4) + πk; x = arctg(3/4) + πk; x = arctg(8/9) + πk; x = arctg(-5) + πk; x = arctg(3/7) + πn, x = -π/4 + πk, где n, k ∈ Z