29.9. Решите уравнение: 1) √3 sinx + cosx = 2; 3) 3 sin x + √3 cos x = 3. 2 2

29.9. Решите уравнение:

1) $$\sqrt{3} sinx + cosx = 2$$

$$2(\frac{\sqrt{3}}{2} sinx + \frac{1}{2} cosx) = 2$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} sinx + \frac{1}{2} cosx = 1$$

$$cos(\frac{\pi}{6})sinx + sin(\frac{\pi}{6})cosx = 1$$

$$sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$$

$$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$

$$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$$

$$x = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$$

$$x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$$

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$$

3) $$3 sin \frac{x}{2} + \sqrt{3} cos \frac{x}{2} = 3$$

$$2(\frac{3}{2} sin \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} cos \frac{x}{2} ) = 3$$

Пусть $$cos \alpha = \frac{3}{2}$$, $$sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, тогда

$$2(cos \alpha sin \frac{x}{2} + sin \alpha cos \frac{x}{2} ) = 3$$

$$2 sin (\alpha + \frac{x}{2} ) = 3$$

$$sin (\alpha + \frac{x}{2} ) = \frac{3}{2} > 1$$

Поэтому уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений