1) Решите уравнение √3 tgx = -2 sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]

Решение:

1) Решим уравнение \(\sqrt{3} \cdot tg x = -2 \cdot sin x\). Запишем тангенс через синус и косинус: \(\sqrt{3} \cdot \frac{sin x}{cos x} = -2 \cdot sin x\).

Перенесем все в левую часть: \(\sqrt{3} \cdot \frac{sin x}{cos x} + 2 \cdot sin x = 0\). Вынесем \(sin x\) за скобки: \(sin x \cdot (\sqrt{3} \cdot \frac{1}{cos x} + 2) = 0\).

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Значит, или \(sin x = 0\), или \(\sqrt{3} \cdot \frac{1}{cos x} + 2 = 0\).

Решим первое уравнение: \(sin x = 0\). Корни этого уравнения: \(x = πn\), где \(n \in Z\).

Решим второе уравнение: \(\sqrt{3} \cdot \frac{1}{cos x} + 2 = 0\). Выразим \(cos x\): \(\frac{\sqrt{3}}{cos x} = -2\), \(cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Корни этого уравнения: \(x = ±\frac{5π}{6} + 2πk\), где \(k \in Z\).

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку \([\frac{3π}{2}; 3π]\).

Рассмотрим серию \(x = πn\). Подставим границы отрезка: \(\frac{3π}{2} \le πn \le 3π\). Разделим все части неравенства на \(π\): \(\frac{3}{2} \le n \le 3\). Целые значения \(n\), удовлетворяющие этому неравенству: \(n = 2\) и \(n = 3\). Значит, корни: \(x = 2π\) и \(x = 3π\).

Рассмотрим серию \(x = \frac{5π}{6} + 2πk\). Подставим границы отрезка: \(\frac{3π}{2} \le \frac{5π}{6} + 2πk \le 3π\). Вычтем из всех частей неравенства \(\frac{5π}{6}\): \(\frac{3π}{2} - \frac{5π}{6} \le 2πk \le 3π - \frac{5π}{6}\), \(\frac{4π}{6} \le 2πk \le \frac{13π}{6}\). Разделим все части неравенства на \(2π\): \(\frac{1}{3} \le k \le \frac{13}{12}\). Целое значение \(k\), удовлетворяющее этому неравенству: \(k = 1\). Значит, корень: \(x = \frac{5π}{6} + 2π = \frac{17π}{6}\).

Рассмотрим серию \(x = -\frac{5π}{6} + 2πk\). Подставим границы отрезка: \(\frac{3π}{2} \le -\frac{5π}{6} + 2πk \le 3π\). Прибавим ко всем частям неравенства \(\frac{5π}{6}\): \(\frac{3π}{2} + \frac{5π}{6} \le 2πk \le 3π + \frac{5π}{6}\), \(\frac{14π}{6} \le 2πk \le \frac{23π}{6}\). Разделим все части неравенства на \(2π\): \(\frac{7}{6} \le k \le \frac{23}{12}\). Целое значение \(k\), удовлетворяющее этому неравенству: \(k = 2\). Значит, корень: \(x = -\frac{5π}{6} + 4π = \frac{19π}{6}\).

Ответ: \(x = πn\), \(x = ±\frac{5π}{6} + 2πk\), \(x = 2π\), \(x = 3π\), \(x = \frac{17π}{6}\), \(x = \frac{19π}{6}\), где \(n, k \in Z\).