Решите уравнение √3x²-2x+15 + √3x²-2x+8 = 7

Обозначим: $$t = 3x^2 - 2x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$\sqrt{t + 15} + \sqrt{t + 8} = 7$$

$$\sqrt{t + 15} = 7 - \sqrt{t + 8}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{t + 15})^2 = (7 - \sqrt{t + 8})^2$$

$$t + 15 = 49 - 14\sqrt{t + 8} + t + 8$$

$$14\sqrt{t + 8} = 49 + 8 - 15$$

$$14\sqrt{t + 8} = 42$$

$$\sqrt{t + 8} = 3$$

Снова возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{t + 8})^2 = 3^2$$

$$t + 8 = 9$$

$$t = 1$$

Теперь подставим $$t = 3x^2 - 2x$$:

$$3x^2 - 2x = 1$$

$$3x^2 - 2x - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Проверим найденные корни:

1. При $$x = 1$$:

   $$\sqrt{3(1)^2 - 2(1) + 15} + \sqrt{3(1)^2 - 2(1) + 8} = \sqrt{3 - 2 + 15} + \sqrt{3 - 2 + 8} = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$$

   Корень подходит.

2. При $$x = -\frac{1}{3}$$:

   $$\sqrt{3(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) + 15} + \sqrt{3(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) + 8} = \sqrt{3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} + 15} + \sqrt{3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} + 8} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 15} + \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 8} = \sqrt{1 + 15} + \sqrt{1 + 8} = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$$

   Корень подходит.

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{3}$$