Решите уравнение $$\frac{2x-1}{x} + \frac{4}{2x-1}$$ = 5 методом замены переменной. В ответе запишите сумму всех полученных корней.

Ответ: 3

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Введем замену переменной.Пусть \[t = \frac{2x-1}{x}.\]Тогда \[\frac{4}{2x-1} = \frac{4}{x \cdot t}.\]Исходное уравнение примет вид:\[t + \frac{4}{xt} = 5.\]
• Шаг 2: Домножим обе части уравнения на xt:\[xt^2 + 4 = 5xt,\]\[xt^2 - 5xt + 4 = 0.\]
• Шаг 3: Выразим x через t из первого уравнения замены: \[t = \frac{2x-1}{x} \Rightarrow tx = 2x - 1 \Rightarrow 2x - tx = 1 \Rightarrow x(2-t) = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2-t}.\]Подставим это выражение в квадратное уравнение:\[\frac{1}{2-t} \cdot t^2 - 5 \cdot \frac{1}{2-t} \cdot t + 4 = 0.\]Домножим на (2-t) (предполагая, что t ≠ 2):\[t^2 - 5t + 4(2-t) = 0,\]\[t^2 - 5t + 8 - 4t = 0,\]\[t^2 - 9t + 8 = 0.\]
• Шаг 4: Решим квадратное уравнение относительно t.Найдем дискриминант:\[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49.\]Корни уравнения:\[t_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = 8,\]\[t_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = 1.\]
• Шаг 5: Найдем соответствующие значения x.Для t_1 = 8:\[x_1 = \frac{1}{2 - 8} = -\frac{1}{6}.\]Для t_2 = 1:\[x_2 = \frac{1}{2 - 1} = 1.\]
• Шаг 6: Найдем сумму корней: \[x_1 + x_2 = -\frac{1}{6} + 1 = \frac{5}{6}.\]Проверим, не является ли t = 2 корнем исходного уравнения, который мы исключили.Если t = 2, то \[\frac{2x-1}{x} = 2 \Rightarrow 2x - 1 = 2x \Rightarrow -1 = 0,\]что невозможно. Значит, t ≠ 2 не является корнем.

Ответ: 3