3. Решите уравнение 1 + √2x2 – 3x – 5 = х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Ответ: 3

Разбираемся:

• Шаг 1: Перенесем 1 в правую часть.

\[ \sqrt{2x^2 - 3x - 5} = x - 1 \]

• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат.

\[ 2x^2 - 3x - 5 = (x - 1)^2 \]

\[ 2x^2 - 3x - 5 = x^2 - 2x + 1 \]

• Шаг 3: Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение.

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

• Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: x_1 = 3, x_2 = -2.

\[ x_1 = 3, \quad x_2 = -2 \]

• Шаг 5: Проверим корни, подставив их в исходное уравнение.

Проверка x_1 = 3:

\[ 1 + \sqrt{2(3)^2 - 3(3) - 5} = 3 \]

\[ 1 + \sqrt{18 - 9 - 5} = 3 \]

\[ 1 + \sqrt{4} = 3 \]

\[ 1 + 2 = 3 \]

\[ 3 = 3 \] (верно)

Проверка x_2 = -2:

\[ 1 + \sqrt{2(-2)^2 - 3(-2) - 5} = -2 \]

\[ 1 + \sqrt{8 + 6 - 5} = -2 \]

\[ 1 + \sqrt{9} = -2 \]

\[ 1 + 3 = -2 \]

\[ 4 = -2 \] (неверно)

• Шаг 6: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ 2x^2 - 3x - 5 \ge 0 \]

\[ (2x - 5)(x + 1) \ge 0 \]

Корни: x = 2.5 и x = -1

Решением будет x <= -1 или x >= 2.5

• Шаг 7: Сравним корни с условием x - 1 >= 0, т.е. x >= 1

Поскольку \(x_1 = 3\) удовлетворяет условию \( x \ge 1 \), а \(x_2 = -2\) не удовлетворяет, то \(x_1 = 3\) является единственным корнем уравнения.

Также необходимо проверить, что \(2x^2 - 3x - 5 \ge 0\). Для \(x = 3\): \(2(3)^2 - 3(3) - 5 = 18 - 9 - 5 = 4 \ge 0\), что верно.

• Итог: Единственный корень уравнения x = 3.

Ответ: 3