Решите уравнение (1-5). 1. a) sinx= -1; б) cos x = √2/2; B) tg x = √3. 2. a) cos²x - cos x - 2 = 0; 6) 3 cos²x - 2 sin x + 2 = 0. 3. a) sinx + cos x = 0; 6) 3 sin²x - 2√3 sin x cosx + cos²x = 0. 4*. a) cosx = -0,5; 6) sin x = 1/4; B) tg x = 2. 5*. a) sin x - cosx = 1; б) 2 cos²x- sin 4x = 1. 6*. Решите неравенство: a) sin x > 0,5; 6) cos x < 0,5; B) tg x ≥ -3.

Разбираемся с тригонометрическими уравнениями и неравенствами! Поехали!

1. Решите уравнение.

a) \( \sin x = -1 \)

Это частный случай, когда \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)

б) \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Это тоже табличное значение. \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)

в) \( \tan x = -\sqrt{3} \)

Тут \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

2. Решите уравнение.

a) \( \cos^2 x - \cos x - 2 = 0 \)

Замена: \( t = \cos x \), тогда \( t^2 - t - 2 = 0 \). Корни \( t_1 = -1 \), \( t_2 = 2 \).

Значит, \( \cos x = -1 \) (тогда \( x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)) или \( \cos x = 2 \) (нет решений, т.к. \( |\cos x| \le 1 \)).

б) \( 3\cos^2 x - 2\sin x + 2 = 0 \)

Тут \( 3(1 - \sin^2 x) - 2\sin x + 2 = 0 \), то есть \( 3 - 3\sin^2 x - 2\sin x + 2 = 0 \), или \( 3\sin^2 x + 2\sin x - 5 = 0 \). Замена: \( t = \sin x \), тогда \( 3t^2 + 2t - 5 = 0 \). Корни \( t_1 = 1 \), \( t_2 = -\frac{5}{3} \).

Значит, \( \sin x = 1 \) (тогда \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)) или \( \sin x = -\frac{5}{3} \) (нет решений, т.к. \( |\sin x| \le 1 \)).

3. Решите уравнение.

a) \( \sin x + \cos x = 0 \)

Делим на \( \cos x \) (если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = 0 \), что невозможно одновременно). Тогда \( \tan x + 1 = 0 \), то есть \( \tan x = -1 \). Значит, \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

б) \( 3\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 \)

Делим на \( \cos^2 x \) (если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = 0 \), что невозможно одновременно). Тогда \( 3\tan^2 x - 2\sqrt{3} \tan x + 1 = 0 \). Замена: \( t = \tan x \), тогда \( 3t^2 - 2\sqrt{3} t + 1 = 0 \). Дискриминант \( D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12 - 12 = 0 \). Значит, \( t = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Итак, \( \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \), то есть \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

4*. Решите уравнение.

a) \( \cos x = -0.5 \)

Это \( \cos x = -\frac{1}{2} \). Тогда \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).

б) \( \sin x = \frac{1}{4} \)

Тут \( x = (-1)^k \arcsin \frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

в) \( \tan x = 2 \)

Тогда \( x = \arctan 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

5*. Решите уравнение.

a) \( \sin x - \cos x = 1 \)

Возводим в квадрат: \( \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 \), то есть \( 1 - 2\sin x \cos x = 1 \), или \( 2\sin x \cos x = 0 \), то есть \( \sin 2x = 0 \). Тогда \( 2x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \), значит, \( x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \).

Нужно проверить корни: \( x = 0 \), \( \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1
e 1 \). \( x = \frac{\pi}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1 \). \( x = \pi \), \( \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1 \). \( x = \frac{3\pi}{2} \), \( \sin \frac{3\pi}{2} - \cos \frac{3\pi}{2} = -1 - 0 = -1
e 1 \).

Итак, \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

б) \( 2\cos^2 x - \sin 4x = 1 \)

Тут \( 2\cos^2 x - 2\sin 2x \cos 2x = 1 \), то есть \( 2\cos^2 x - 4\sin x \cos x \cos 2x = 1 \), или \( 2\cos^2 x - 4\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = 1 \), или \( 2\cos^2 x - 4\sin x \cos^3 x + 4\sin^3 x \cos x = 1 \), или \( 2\cos^2 x - 4\sin x \cos^3 x + 4\sin^3 x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x \), или \( \cos^2 x - 4\sin x \cos^3 x + 4\sin^3 x \cos x - \sin^2 x = 0 \), или \( (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - 4\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = 0 \), или \( (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - 4\sin x \cos x (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 0 \), или \( (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)(1 - 4\sin x \cos x) = 0 \), или \( (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)(1 - 2\sin 2x) = 0 \).

Тогда либо \( \cos x = \sin x \), то есть \( \tan x = 1 \), откуда \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \), либо \( \cos x = -\sin x \), то есть \( \tan x = -1 \), откуда \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \), либо \( 1 - 2\sin 2x = 0 \), то есть \( \sin 2x = \frac{1}{2} \), откуда \( 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \), или \( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \), то есть \( x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \), или \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

Итого, \( x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \), \( x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \), \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

6*. Решите неравенство:

a) \( \sin x > 0.5 \)

Тут \( \sin x > \frac{1}{2} \). Тогда \( \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).

б) \( \cos x < 0.5 \)

Тут \( \cos x < \frac{1}{2} \). Тогда \( \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).

в) \( \tan x \ge -3 \)

Тут \( -\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \arctan(-3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).