Решите уравнение 2 cos² x - 3√2 cosx + 2 = 0.

Решим уравнение (2\cos^2 x - 3\sqrt{2} \cos x + 2 = 0). Введем замену (t = \cos x), тогда уравнение примет вид: \[2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2\] Найдем корни квадратного уравнения: \[t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}\] \[t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Вернемся к замене: \[\cos x = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Так как (|\cos x| \le 1), уравнение (\cos x = \sqrt{2}) не имеет решений. Решим уравнение (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}): \[x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Ответ: (x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z})