1) Решите уравнение 2 cos²x-√2 cosx - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решение:

1) Решим уравнение: 2 cos²x - √2 cosx - 2 = 0.

Пусть cos x = t, тогда уравнение принимает вид: 2t² - √2t - 2 = 0.

Найдем дискриминант: D = (-√2)² - 4 * 2 * (-2) = 2 + 16 = 18.

Тогда корни уравнения:

• t₁ = (√2 + √18) / 4 = (√2 + 3√2) / 4 = 4√2 / 4 = √2
• t₂ = (√2 - √18) / 4 = (√2 - 3√2) / 4 = -2√2 / 4 = -√2 / 2

Возвращаемся к исходной переменной:

• cos x = √2 (не имеет решений, так как √2 > 1)
• cos x = -√2 / 2

Решения уравнения cos x = -√2 / 2:

x = ±(π - π/4) + 2πk, где k ∈ Z

x = ±3π/4 + 2πk, где k ∈ Z

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Для x = 3π/4 + 2πk:

При k = 0: x = 3π/4 (не принадлежит отрезку [π; 5π/2])

При k = 1: x = 3π/4 + 2π = 11π/4 (принадлежит отрезку [π; 5π/2], так как π = 4π/4 < 11π/4 < 12.5π/4 = 5π/2)

При k = 2: x = 3π/4 + 4π = 19π/4 (не принадлежит отрезку [π; 5π/2], так как 19π/4 > 12.5π/4 = 5π/2)

Для x = -3π/4 + 2πk:

При k = 1: x = -3π/4 + 2π = 5π/4 (принадлежит отрезку [π; 5π/2], так как π = 4π/4 < 5π/4 < 12.5π/4 = 5π/2)

При k = 2: x = -3π/4 + 4π = 13π/4 (принадлежит отрезку [π; 5π/2], так как π = 4π/4 < 13π/4 < 12.5π/4 = 5π/2)

При k = 3: x = -3π/4 + 6π = 21π/4 (не принадлежит отрезку [π; 5π/2], так как 21π/4 > 12.5π/4 = 5π/2)

Ответ: корни, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]: 5π/4, 11π/4.