1) Решите уравнение 2 cos²x+√2cosx-2=0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

Разберемся с этим уравнением! Сначала решим уравнение, а затем найдем корни, принадлежащие заданному отрезку.

1) Решим уравнение:

Пусть \( t = \cos x \), тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 + \sqrt{2}t - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

\[ D = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 \]

Теперь найдем корни:

\[ t_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{18}}{4} = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ t_2 = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{18}}{4} = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2} \]

Так как \( -1 \leq \cos x \leq 1 \), то \( t_2 = -\sqrt{2} \) не подходит.

Значит, \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Решения этого уравнения:

\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку:

Нам нужно найти корни, принадлежащие отрезку \( \left[ \frac{2\pi}{2}; \pi \right] \)

Сначала рассмотрим \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

При \( k = 0 \), \( x = \frac{\pi}{4} \), что не принадлежит отрезку \( \left[ \pi; \frac{2\pi}{2} \right] \)

При \( k = 1 \), \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \), что также не принадлежит отрезку \( \left[ \pi; \frac{2\pi}{2} \right] \)

Теперь рассмотрим \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

При \( k = 1 \), \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \), что не принадлежит отрезку \( \left[ \pi; \frac{2\pi}{2} \right] \)

Чтобы найти корень принадлежащий отрезку, нужно рассмотреть:

\[ x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \]

И

\[ x = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \]

Проверим, какие корни принадлежат отрезку \( \left[ \frac{\pi}{2}; 2\pi \right] \)

Отрезку принадлежат корни:

\[ x = \frac{7\pi}{4} \]

Так как \( \frac{7\pi}{4} \approx 5.5 \), и этот корень не принадлежит отрезку \( \left[ \pi; \frac{2\pi}{2} \right] \)

На заданном отрезке корней нет.

Ответ: Корней, принадлежащих отрезку, нет.