1) Решите уравнение 2 cos²x-3√2cosx+2=0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2%; 7π 2

Решаем уравнение:

Для начала решим уравнение \(2\cos^2 x - 3\sqrt{2} \cos x + 2 = 0\).

Пусть \(t = \cos x\), тогда уравнение принимает вид:

\[2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно \(t\):

Дискриминант \(D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2\).

Корни:

\[t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}\] \[t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Тогда:

1) \(\cos x = \sqrt{2}\) – не имеет решений, так как \(\sqrt{2} > 1\).

2) \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда \(x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).

Отбираем корни на заданном отрезке:

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку \(\[2\pi; \frac{7\pi}{2}\]\).

1) \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\)

При \(n=1\): \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}\), что принадлежит заданному отрезку.

При \(n=2\): \(x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}\), что больше \(\frac{7\pi}{2} = \frac{14\pi}{4}\), то есть не принадлежит отрезку.

2) \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\)

При \(n=1\): \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}\), что принадлежит заданному отрезку.

При \(n=2\): \(x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}\), что больше \(\frac{7\pi}{2} = \frac{14\pi}{4}\), то есть не принадлежит отрезку.

Ответ: \(\frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\)