Решите уравнение 2 cos²x + √3 cosx-3= 0. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5π}{2}; 4π].

Решение:

Пусть \(t = \cos x\), тогда уравнение примет вид:

\[2t^2 + \sqrt{3}t - 3 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27\]\[t_1 = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{27}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]\[t_2 = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{27}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}\]

Возвращаемся к исходной переменной:

1. \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Общее решение:

\[x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Проверим, какие корни попадают в отрезок \([\frac{5\pi}{2}; 4\pi]\):

\[\frac{5\pi}{2} \approx 7.85, \quad 4\pi \approx 12.57\]\[\frac{\pi}{6} \approx 0.52\]

Тогда для \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\):

При \(n = 1\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.81\) (не входит в отрезок)

При \(n = 2\): \(x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 13.09\) (не входит в отрезок)

При \(n = 1\): \(x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} \approx 12.04\)

\[x = 4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}\]

2. \(\cos x = -\sqrt{3}\)

Это уравнение не имеет решений, так как \(-\sqrt{3} < -1\), а \(-1 \le \cos x \le 1\).

Ответ: \(\frac{23\pi}{6}\)