1) Решите уравнение 2 cos²x-3 cos x - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решение:

1) Решим уравнение 2 cos²x - 3 cos x - 2 = 0. Введем замену t = cos x, тогда уравнение примет вид: 2t² - 3t - 2 = 0.

Пошаговое решение:

• Дискриминант: D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.
• Корни: t₁ = (3 + √25) / (2 * 2) = (3 + 5) / 4 = 2, t₂ = (3 - √25) / (2 * 2) = (3 - 5) / 4 = -1/2.

Тогда cos x = 2 (не имеет решений, так как |cos x| ≤ 1) или cos x = -1/2.

Решение cos x = -1/2: x = ±(2π/3) + 2πn, где n ∈ Z.

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку \[ \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right] \].

• Для x = (2π/3) + 2πn: если n = 1, x = (2π/3) + 2π = 8π/3 ≈ 8.37 > 3π ≈ 9.42, что не входит в отрезок. Если n = 0, x = 2π/3 ≈ 2.09, что не входит в отрезок. Если n = 1, x = (2π/3) + 2π = 8π/3, что не входит в отрезок.
• Для x = -(2π/3) + 2πn: если n = 1, x = -(2π/3) + 2π = 4π/3 ≈ 4.19, что не входит в отрезок. Если n = 2, x = -(2π/3) + 4π = 10π/3 ≈ 10.47, что больше 3π. Если n = 1, x = -(2π/3) + 2π = 4π/3 ≈ 4.18, что не входит в отрезок.

Находим корни на заданном отрезке, учитывая, что период косинуса 2π:

• x = \( \frac{8\pi}{3} \) входит в данный отрезок;
• x = \( \frac{10\pi}{3} \) не входит в данный отрезок, так как больше \(3\pi \).

Проверка:

• Проверим корень \( x = \frac{8\pi}{3} \) на принадлежность отрезку \( \left[ \frac{3\pi}{2}, 3\pi \right] \).
• \( \frac{3\pi}{2} \approx 4.71, \quad 3\pi \approx 9.42 \).
• \( \frac{8\pi}{3} \approx 8.38 \), что находится между 4.71 и 9.42.

Ответ: \( x = \frac{8\pi}{3} \)