Решите уравнение 2 cos³ x = √3 sin² x + cos x. Найдите cos x и запишите в ответ квадрат полученного значения в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Разберемся с решением тригонометрического уравнения и найдем квадрат значения косинуса.

Уравнение имеет вид: \[2\cos^3 x = \sqrt{3}\sin^2 x + \cos x\]

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \[\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\]:

\[2\cos^3 x = \sqrt{3}(1 - \cos^2 x) + \cos x\]

\[2\cos^3 x = \sqrt{3} - \sqrt{3}\cos^2 x + \cos x\]

\[2\cos^3 x + \sqrt{3}\cos^2 x - \cos x - \sqrt{3} = 0\]

Шаг 2: Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

\[(\sqrt{3}\cos^2 x - \sqrt{3}) + (2\cos^3 x - \cos x) = 0\]

\[\sqrt{3}(\cos^2 x - 1) + \cos x(2\cos^2 x - 1) = 0\]

\[-\sqrt{3}\sin^2 x + \cos x(2\cos^2 x - 1) = 0\]

Шаг 3: Заметим, что \[2\cos^2 x - 1 = \cos(2x)\]:

\[-\sqrt{3}(1 - \cos^2 x) + \cos x(2\cos^2 x - 1) = 0\]

\[-\sqrt{3} + \sqrt{3}\cos^2 x + \cos x(2\cos^2 x - 1) = 0\]

Шаг 4: Решим уравнение относительно \(\cos x\). Обозначим \(\cos x = t\), тогда:

\[2t^3 + \sqrt{3}t^2 - t - \sqrt{3} = 0\]

Сгруппируем члены:

\[t^2(2t + \sqrt{3}) - (t + \sqrt{3}) = 0\]

Теперь попробуем сгруппировать по-другому:

\[2t^3 - t + \sqrt{3}t^2 - \sqrt{3} = 0\]

\[t(2t^2 - 1) + \sqrt{3}(t^2 - 1) = 0\]

Используем группировку:\[(2\cos^3 x - \cos x) + (\sqrt{3}\cos^2 x - \sqrt{3}) = 0\]

\[\cos x (2\cos^2 x - 1) + \sqrt{3} (\cos^2 x - 1) = 0\]

\[\cos x \cos 2x - \sqrt{3} \sin^2 x = 0\]

Преобразуем исходное уравнение:\[2\cos^3 x - \cos x = \sqrt{3} \sin^2 x\]

\[\cos x (2\cos^2 x - 1) = \sqrt{3} \sin^2 x\]

\[\cos x \cos 2x = \sqrt{3} (1 - \cos^2 x)\]

Если \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \[\cos^2 x = \frac{3}{4} = 0.75\]

Шаг 5: Проверим, подходит ли это значение:

\[2(\frac{\sqrt{3}}{2})^3 = \sqrt{3} (1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2) + \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3} (1 - \frac{3}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\frac{3\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}}{4}\]

\[\frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\]

Таким образом, \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) является решением.

Шаг 6: Найдем квадрат этого значения:

\[(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0.75\]