1) Решите уравнение 2 sin² x + 5 sin x + 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

Решаем уравнение:

Смотри, тут всё просто! Давай сделаем замену: пусть \(t = \sin x\). Тогда уравнение примет вид:

Решаем квадратное уравнение:

Возвращаемся к замене:

• \(\sin x = -\frac{1}{2}\)
• \(\sin x = -2\) (не имеет решений, так как \(-1 \le \sin x \le 1\))

Решаем уравнение \(\sin x = -\frac{1}{2}\):

Находим корни на отрезке \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\):

Теперь нам нужно найти, какие корни уравнения попадают в заданный отрезок. Для этого нужно перебрать несколько значений \(n\) и посмотреть, какие корни будут в этом интервале.

• Пусть \(n = -4\):
\[x = (-1)^{-4+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (-4) = -\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = -\frac{25\pi}{6}\]

Проверяем, попадает ли это значение в отрезок:

\[-4\pi = -\frac{24\pi}{6} \le -\frac{25\pi}{6} \le -\frac{5\pi}{2} = -\frac{15\pi}{6}\]

Корень \(-\frac{25\pi}{6}\) подходит.

• Пусть \(n = -3\):
\[x = (-1)^{-3+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (-3) = \frac{\pi}{6} - 3\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{18\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6}\]

Проверяем, попадает ли это значение в отрезок:

\[-4\pi = -\frac{24\pi}{6} \le -\frac{17\pi}{6} \le -\frac{5\pi}{2} = -\frac{15\pi}{6}\]

Корень \(-\frac{17\pi}{6}\) подходит.

• Пусть \(n = -2\):
\[x = (-1)^{-2+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi (-2) = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6}\]

Проверяем, попадает ли это значение в отрезок:

\[-4\pi = -\frac{24\pi}{6} \le -\frac{13\pi}{6} \le -\frac{5\pi}{2} = -\frac{15\pi}{6}\]

Это неверно, т.к. \(-\frac{13\pi}{6} > -\frac{15\pi}{6}\).

Корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\):

Ответ: \(x = {-\frac{25\pi}{6}, -\frac{17\pi}{6}}\)