10. Решите уравнение 3 sin²x - 7 sin x cos x + 2 cos²x = 0;

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Разделим обе части уравнения на cos²x (если cos x ≠ 0):

\[3 \frac{sin^2 x}{cos^2 x} - 7 \frac{sin x cos x}{cos^2 x} + 2 \frac{cos^2 x}{cos^2 x} = 0\]\[3 tg^2 x - 7 tg x + 2 = 0\]

• Шаг 2: Введем замену t = tg x:

\[3t^2 - 7t + 2 = 0\]

• Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25\]\[t_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2\]\[t_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

• Шаг 4: Вернемся к замене:

\[tg x = 2 \quad \text{или} \quad tg x = \frac{1}{3}\]

• Шаг 5: Решим первое уравнение:

\[tg x = 2\]\[x = arctg(2) + \pi k, k \in Z\]

• Шаг 6: Решим второе уравнение:

\[tg x = \frac{1}{3}\]\[x = arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in Z\]

Ответ: x = arctg(2) + πk, x = arctg(1/3) + πk, k ∈ Z