1) Решите уравнение 2 sin²x +3 sinx - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2].

Решаем:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Решаем уравнение 2 sin²x + 3 sinx - 2 = 0. Введем замену t = sinx, тогда уравнение примет вид: 2t² + 3t - 2 = 0 Находим дискриминант: D = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25 Корни уравнения: t₁ = (-3 + √25) / (2 * 2) = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2 t₂ = (-3 - √25) / (2 * 2) = (-3 - 5) / 4 = -8 / 4 = -2 Так как -1 ≤ sinx ≤ 1, то t₂ = -2 не является решением. Значит, sinx = 1/2.
2. Шаг 2: Находим x: x = (-1)ⁿ * arcsin(1/2) + πn, где n ∈ Z x = (-1)ⁿ * π/6 + πn, где n ∈ Z
3. Шаг 3: Находим корни на отрезке [-3π; -3π/2]. Подставляем различные значения n, чтобы найти корни, попадающие в заданный отрезок: При n = -3: x = (-1)⁻³ * π/6 + π * (-3) = -π/6 - 3π = -19π/6 ≈ -9.95 (не входит в отрезок) При n = -2: x = (-1)⁻² * π/6 + π * (-2) = π/6 - 2π = -11π/6 ≈ -5.76 (входит в отрезок) При n = -1: x = (-1)⁻¹ * π/6 + π * (-1) = -π/6 - π = -7π/6 ≈ -3.66 (не входит в отрезок) Следовательно, корень x = -11π/6 является единственным корнем на данном отрезке.

Ответ: x = (-1)ⁿ * π/6 + πn, n ∈ Z; корень на отрезке [-3π; -3π/2]: x = -11π/6