Решите уравнение 3 sin2 x = cos2 x. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решение:

Смотри, тут всё просто: сначала решим тригонометрическое уравнение, а затем отберем корни, принадлежащие заданному отрезку.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1. Заменим cos²x на 1 - sin²x:

• 3sin²x = 1 - sin²x
• 4sin²x = 1
• sin²x = 1/4
• sinx = ±1/2

2. Шаг 2: Находим корни уравнения sinx = 1/2:

• x = π/6 + 2πk, где k ∈ Z
• x = 5π/6 + 2πn, где n ∈ Z

3. Шаг 3: Находим корни уравнения sinx = -1/2:

• x = -π/6 + 2πm, где m ∈ Z
• x = 7π/6 + 2πp, где p ∈ Z

4. Шаг 4: Отбираем корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]. Это отрезок от 4.71 до 9.42.

• Для x = π/6 + 2πk:
• k = 1: x = π/6 + 2π ≈ 0.52 + 6.28 ≈ 6.81 (подходит)
• k = 2: x = π/6 + 4π ≈ 0.52 + 12.56 ≈ 13.08 (не подходит)
• Для x = 5π/6 + 2πn:
• n = 1: x = 5π/6 + 2π ≈ 2.62 + 6.28 ≈ 8.90 (подходит)
• n = 0: x = 5π/6 ≈ 2.62 (не подходит)
• Для x = -π/6 + 2πm:
• m = 1: x = -π/6 + 2π ≈ -0.52 + 6.28 ≈ 5.76 (подходит)
• m = 2: x = -π/6 + 4π ≈ -0.52 + 12.56 ≈ 12.04 (не подходит)
• Для x = 7π/6 + 2πp:
• p = 0: x = 7π/6 ≈ 3.67 (не подходит)
• p = 1: x = 7π/6 + 2π ≈ 3.67 + 6.28 ≈ 9.95 (не подходит)

Ответ: Корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]: 5π/6 + 2π, -π/6 + 2π, π/6 + 2π.