Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Решите уравнение: 10 / (x² - 100) + (x - 20) / (x² + 10x) - 5 / (x² - 10x) = 0. Первый автомобиль проезжает расстояние, равное 300 км, на 1 ч быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго. Постройте график функции y = (x² + 2x - 15) / (x - 3).
Ответ:
Решение первого уравнения:
Краткое пояснение: Сначала нужно привести все дроби к общему знаменателю и решить уравнение относительно x. Не забудьте исключить значения x, при которых знаменатель обращается в ноль.
- Приведем к общему знаменателю: общий знаменатель будет x(x - 10)(x + 10).
- Преобразуем уравнение: \[\frac{10x + (x - 20)(x - 10) - 5(x + 10)}{x(x - 10)(x + 10)} = 0\]
- Раскроем скобки и упростим числитель: \[\frac{10x + x^2 - 30x + 200 - 5x - 50}{x(x - 10)(x + 10)} = 0\] \[\frac{x^2 - 25x + 150}{x(x - 10)(x + 10)} = 0\]
- Решим квадратное уравнение x² - 25x + 150 = 0: Дискриминант: D = (-25)² - 4 * 1 * 150 = 625 - 600 = 25 Корни: x₁ = (25 + 5) / 2 = 15, x₂ = (25 - 5) / 2 = 10
- Исключим посторонние корни: x ≠ 0, x ≠ 10, x ≠ -10. Следовательно, x = 10 является посторонним корнем.
Ответ: x = 15
Решение задачи про автомобили:
Краткое пояснение: Пусть скорость второго автомобиля будет v. Тогда скорость первого v + 10. Используем формулу времени: время = расстояние / скорость.
- Составим уравнение: Время первого автомобиля: 300 / (v + 10) Время второго автомобиля: 300 / v Разница во времени: 300/v - 300/(v + 10) = 1
- Решим уравнение: \[\frac{300}{v} - \frac{300}{v + 10} = 1\] \[\frac{300(v + 10) - 300v}{v(v + 10)} = 1\] \[\frac{300v + 3000 - 300v}{v^2 + 10v} = 1\] \[\frac{3000}{v^2 + 10v} = 1\] \[v^2 + 10v - 3000 = 0\]
- Решим квадратное уравнение: v² + 10v - 3000 = 0 Дискриминант: D = 10² - 4 * 1 * (-3000) = 100 + 12000 = 12100 Корни: v₁ = (-10 + 110) / 2 = 50, v₂ = (-10 - 110) / 2 = -60 (отрицательная скорость не подходит)
- Найдем скорости автомобилей: Скорость второго автомобиля: 50 км/ч Скорость первого автомобиля: 50 + 10 = 60 км/ч
Ответ: Скорость первого автомобиля 60 км/ч, скорость второго автомобиля 50 км/ч.
Построение графика функции:
Краткое пояснение: Сначала упростим функцию, разложив числитель на множители. Это позволит выявить точки разрыва и асимптоты.
- Упростим функцию: \[y = \frac{x^2 + 2x - 15}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 5)}{x - 3}\]
- Сократим дробь (если x ≠ 3): \[y = x + 5\]
- Определим точку разрыва: x = 3 В точке x = 3 функция не определена, следовательно, на графике будет «дырка».
- Построим график: График представляет собой прямую линию y = x + 5, с выколотой точкой в x = 3.
