Решите уравнение: 03.1. а) x³ − 3x² − 4x = 0; б) x⁴ + 11x³ − x² = 0; в) 3x³ − 8x² + 14x = 0; г) (2x − 3)³ − (2x − 3)² = 12x − 18.

Решаем уравнения в действительных числах.

а) Вынесем общий множитель:

\(x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)=x(x-4)(x+1)=0.\)

Отсюда \(x=0\), \(x=4\) или \(x=-1\).

б) Вынесем \(x^2\):

\(x^4+11x^3-x^2=x^2(x^2+11x-1)=0.\)

Первый множитель равен нулю при \(x=0\). Для второго решим квадратное уравнение: \(D=11^2-4\cdot1\cdot(-1)=125\), поэтому \(x=\frac{-11\pm\sqrt{125}}{2}=\frac{-11\pm5\sqrt5}{2}\).

в) Вынесем \(x\):

\(3x^3-8x^2+14x=x(3x^2-8x+14)=0.\)

Первый множитель даёт \(x=0\). Для квадратного множителя дискриминант \(D=(-8)^2-4\cdot3\cdot14=-104<0\), значит, действительных корней у него нет.

г) Сделаем замену \(t=2x-3\). Тогда \(12x-18=6(2x-3)=6t\), и уравнение принимает вид:

\(t^3-t^2=6t\),
\(t^3-t^2-6t=0\),
\(t(t-3)(t+2)=0.\)

Значит, \(t=0\), \(t=3\) или \(t=-2\). Возвращаясь к \(t=2x-3\), получаем соответственно \(x=\frac32\), \(x=3\), \(x=\frac12\).

Ответ: а) \(x=-1,\ 0,\ 4\); б) \(x=0,\ \frac{-11-5\sqrt5}{2},\ \frac{-11+5\sqrt5}{2}\); в) \(x=0\); г) \(x=\frac12,\ \frac32,\ 3\).