Решите уравнение (1/27)^x=9^(1-x).

Решение:

Для решения уравнения представим основания степеней через степень числа 3:

\( \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} \)

\( 9 = 3^2 \)

Подставим эти значения в уравнение:

\[ (3^{-3})^x = (3^2)^{(1-x)} \]

Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ 3^{-3x} = 3^{2(1-x)} \]

Так как основания степеней равны, приравняем показатели степеней:

\[ -3x = 2(1-x) \]

Раскроем скобки:

\[ -3x = 2 - 2x \]

Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а свободный член — в правую:

\[ -3x + 2x = 2 \]

\[ -x = 2 \]

Умножим обе части уравнения на -1:

\[ x = -2 \]

Проверим решение:

Левая часть: \( (1/27)^{-2} = (3^{-3})^{-2} = 3^{6} \)

Правая часть: \( 9^{(1-(-2))} = 9^3 = (3^2)^3 = 3^{6} \)

Левая часть равна правой части. Решение верное.

Ответ: -2