Решите уравнение 1 — cos(x/2 — π/4) = 2. Выберете все корни, принадлежащие промежутку [—11π/2; —5π].

Решение:

Для начала преобразуем уравнение:

• \[1 - \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2 \]

• \[-\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \]

• \[\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -1 \]

Общее решение уравнения \[\cos(y) = -1 \] имеет вид \[y = \pi + 2\pi k\], где к ∈ ℤ.

Подставим наше выражение вместо у:

• \[\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi k \]

• \[\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \]

• \[x = \frac{5\pi}{2} + 4\pi k \]

Теперь найдем значения х, принадлежащие промежутку [-\frac{11\pi}{2}; -5\pi\u005D.

Подставим разные целые значения х:

• Если х = -1, то [-\frac{11\pi}{2}; -5\pi\u005D = [-5.5\pi; -5\pi\u005D

• k = -1: \[x = \frac{5\pi}{2} + 4\pi(-1) = \frac{5\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi\u005D. Это значение НЕ принадлежит промежутку.

• k = -2: \[x = \frac{5\pi}{2} + 4\pi(-2) = \frac{5\pi}{2} - 8\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{16\pi}{2} = -\frac{11\pi}{2} = -5.5\pi\u005D. Это значение принадлежит промежутку.

• k = -3: \[x = \frac{5\pi}{2} + 4\pi(-3) = \frac{5\pi}{2} - 12\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{24\pi}{2} = -\frac{19\pi}{2} = -9.5\pi\u005D. Это значение НЕ принадлежит промежутку.

Ответ: —11π/2