Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x}=5\); 2) \(\sqrt{x}=\frac{2}{7}\); 3) \(\sqrt{x}-8=0\); 4) \(2\sqrt{x}-9=0\); 5) \(\frac{1}{3}\sqrt{x}+4=0\); 6) \(\sqrt{6x}-3=0\); 7) \(\sqrt{6x-3}=0\); 8) \(\sqrt{6x-3}=2\); 9) \(\frac{21}{\sqrt{x}}=3\); 10) \(\frac{10}{\sqrt{x-4}}=5\); 11) \(\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{x}}}=3\); 12) \((x-1)\sqrt{x^2-4}=0\).

1. Возводим обе части в квадрат: \(x=25\). Область определения: \(x\ge 0\); значение подходит.

2. Возводим обе части в квадрат: \(x=\frac{4}{49}\). Значение подходит.

3. \(\sqrt{x}=8\), поэтому \(x=64\).

4. \(2\sqrt{x}=9\), откуда \(\sqrt{x}=\frac{9}{2}\) и \(x=\frac{81}{4}\).

5. При \(x\ge0\) левая часть \(\frac13\sqrt{x}+4\ge4\), поэтому равенство нулю невозможно.

6. \(\sqrt{6x}=3\), следовательно, \(6x=9\) и \(x=\frac32\).

7. \(6x-3=0\), поэтому \(x=\frac12\).

8. Возводим в квадрат: \(6x-3=4\), откуда \(x=\frac76\). Подстановка даёт \(\sqrt4=2\).

9. По области определения \(x>0\). Умножаем на \(\sqrt{x}\): \(21=3\sqrt{x}\), поэтому \(\sqrt{x}=7\) и \(x=49\).

10. По области определения \(x>4\). Из равенства следует \(\sqrt{x-4}=2\), значит \(x-4=4\) и \(x=8\).

11. Последовательно возводим в квадрат: \(3+\sqrt{5+\sqrt{x}}=9\); \(\sqrt{5+\sqrt{x}}=6\); \(5+\sqrt{x}=36\); \(\sqrt{x}=31\). Следовательно, \(x=961\). Это значение удовлетворяет исходному уравнению.

12. Область определения: \(x^2-4\ge0\). Произведение равно нулю, если \(x-1=0\) или \(\sqrt{x^2-4}=0\). Первый случай даёт \(x=1\), но он не входит в область определения. Во втором случае \(x^2=4\), поэтому \(x=\pm2\); оба значения подходят.

Ответ: 1) 25; 2) \(\frac{4}{49}\); 3) 64; 4) \(\frac{81}{4}\); 5) решений нет; 6) \(\frac32\); 7) \(\frac12\); 8) \(\frac76\); 9) 49; 10) 8; 11) 961; 12) \(-2, 2\).