Решите уравнение: 1 / (x^2 + x - 2) + 7 / (x^2 + x - 20) + 1 / 4 = 0. Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.

Решение:

Для решения данного дробно-рационального уравнения, введем замену переменной. Пусть $$y = x^2 + x$$. Тогда уравнение примет вид:

• \[ \frac{1}{y - 2} + \frac{7}{y - 20} + \frac{1}{4} = 0 \]

Приведем к общему знаменателю:

• \[ \frac{4(y - 20) + 4 \cdot 7 + (y - 2)(y - 20)}{4(y - 2)(y - 20)} = 0 \]

Числитель должен быть равен нулю:

• \[ 4y - 80 + 28 + y^2 - 20y - 2y + 40 = 0 \]
• \[ y^2 - 18y - 12 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения для $$y$$ через дискриминант:

• \[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 324 + 48 = 372 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{372} = \sqrt{4 \cdot 93} = 2\sqrt{93} \]
• \[ y_1 = \frac{18 + 2\sqrt{93}}{2} = 9 + \sqrt{93} \]
• \[ y_2 = \frac{18 - 2\sqrt{93}}{2} = 9 - \sqrt{93} \]

Теперь вернемся к замене $$y = x^2 + x$$.

Случай 1: $$x^2 + x = 9 + \sqrt{93}$$

• \[ x^2 + x - (9 + \sqrt{93}) = 0 \]
• \[ x^2 + x - 9 - \sqrt{93} = 0 \]
• Дискриминант $$D_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9 - \sqrt{93}) = 1 + 36 + 4\sqrt{93} = 37 + 4\sqrt{93}$$. Так как $$37 + 4\sqrt{93} > 0$$, то есть два действительных корня.

Случай 2: $$x^2 + x = 9 - \sqrt{93}$$

• \[ x^2 + x - (9 - \sqrt{93}) = 0 \]
• \[ x^2 + x - 9 + \sqrt{93} = 0 \]
• Дискриминант $$D_2 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9 + \sqrt{93}) = 1 + 36 - 4\sqrt{93} = 37 - 4\sqrt{93}$$. Так как $$4\sqrt{93} = \sqrt{16 \times 93} = √{1488}$$, а $$37 = √{1369}$$, то $$37 - 4\sqrt{93} < 0$$. Следовательно, действительных корней в этом случае нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.