Решите уравнение: 1 2x 7 + 1 x 3 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. x =

Решение:

Чтобы решить данное дробно-рациональное уравнение, приведём его к общему знаменателю и раскроем скобки.

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида \( f(x) = 0 \):



\[ \frac{1}{2x - 7} + \frac{1}{x - 3} - 2 = 0 \]



2. Приведём дроби к общему знаменателю \( (2x - 7)(x - 3) \):



\[ \frac{1 \cdot (x - 3)}{(2x - 7)(x - 3)} + \frac{1 \cdot (2x - 7)}{(2x - 7)(x - 3)} - \frac{2 \cdot (2x - 7)(x - 3)}{(2x - 7)(x - 3)} = 0 \]



3. Умножим числитель на соответствующий множитель:



\[ \frac{(x - 3) + (2x - 7) - 2(2x^2 - 6x - 7x + 21)}{(2x - 7)(x - 3)} = 0 \]



4. Упростим числитель:



\[ \frac{x - 3 + 2x - 7 - 2(2x^2 - 13x + 21)}{(2x - 7)(x - 3)} = 0 \]




\[ \frac{3x - 10 - 4x^2 + 26x - 42}{(2x - 7)(x - 3)} = 0 \]




\[ \frac{-4x^2 + 29x - 52}{(2x - 7)(x - 3)} = 0 \]



5. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.


6. Решим квадратное уравнение \( -4x^2 + 29x - 52 = 0 \). Умножим на -1: \( 4x^2 - 29x + 52 = 0 \).


7. Найдем дискриминант:



\[ D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 52 = 841 - 16 \cdot 52 = 841 - 832 = 9 \]



8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:



\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{29 + 3}{8} = \frac{32}{8} = 4 \]




\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{29 - 3}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3.25 \]



9. Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях \( x \).



Знаменатели: \( 2x - 7 \) и \( x - 3 \).




Если \( x = 4 \): \( 2(4) - 7 = 8 - 7 = 1 \neq 0 \); \( 4 - 3 = 1 \neq 0 \).




Если \( x = 3.25 \): \( 2(3.25) - 7 = 6.5 - 7 = -0.5 \neq 0 \); \( 3.25 - 3 = 0.25 \neq 0 \).



10. Оба корня подходят. По условию, если уравнение имеет более одного корня, нужно указать меньший из них.



Сравниваем \( 4 \) и \( 3.25 \). Меньший корень — \( 3.25 \).

Ответ: 3.25