Решите уравнение -13(4-x) = x(x² - 8x+16).

Задание 20: Уравнение

Нужно решить квадратное уравнение: -13(4-x) = x(x² - 8x+16).

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения: \[ -52 + 13x = x(x^2 - 8x + 16) \]
2. Раскроем скобки в правой части уравнения: \[ -52 + 13x = x^3 - 8x^2 + 16x \]
3. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид кубического уравнения: \[ x^3 - 8x^2 + 16x - 13x + 52 = 0 \]
4. Упростим выражение: \[ x^3 - 8x^2 + 3x + 52 = 0 \]
5. Теперь нужно найти корни этого кубического уравнения. Попробуем подобрать целочисленные корни среди делителей свободного члена (52). Делители: ±1, ±2, ±4, ±13, ±26, ±52.
6. Подставим \( x = -1 \): \[ (-1)^3 - 8(-1)^2 + 3(-1) + 52 = -1 - 8 - 3 + 52 = 40
   eq 0 \]
7. Подставим \( x = -2 \): \[ (-2)^3 - 8(-2)^2 + 3(-2) + 52 = -8 - 8(4) - 6 + 52 = -8 - 32 - 6 + 52 = 6
   eq 0 \]
8. Подставим \( x = -4 \): \[ (-4)^3 - 8(-4)^2 + 3(-4) + 52 = -64 - 8(16) - 12 + 52 = -64 - 128 - 12 + 52 = -152
   eq 0 \]
9. Проверим \( x = 4 \): \[ (4)^3 - 8(4)^2 + 3(4) + 52 = 64 - 8(16) + 12 + 52 = 64 - 128 + 12 + 52 = 0 \]
10. Значит, \( x = 4 \) — один из корней уравнения. Теперь мы можем разделить многочлен \( x^3 - 8x^2 + 3x + 52 \) на \( (x - 4) \).
11. С помощью деления многочленов столбиком (или по схеме Горнера) получаем: \( (x^3 - 8x^2 + 3x + 52) : (x - 4) = x^2 - 4x - 13 \)
12. Таким образом, исходное уравнение свелось к решению квадратного уравнения: \( x^2 - 4x - 13 = 0 \)
13. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-13) = 16 + 52 = 68 \)
14. Найдём корни квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b printf styleplusprintf styleminus printf style\text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{4 printf styleplusprintf styleminus printf style\text{sqrt}(68)}{2} = \frac{4 printf styleplusprintf styleminus 2printf style\text{sqrt}(17)}{2} = 2 printf styleplusprintf styleminus printf style\text{sqrt}(17) \]
15. Итак, у нас три корня: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 2 + printf style\text{sqrt}(17) \), \( x_3 = 2 - printf style\text{sqrt}(17) \).

Ответ: 4; \( 2 + printf style\text{sqrt}(17) \); \( 2 - printf style\text{sqrt}(17) \).