Решите уравнение: 16sin⁴x + 8cos2x - 7 = 0.

1. Используем формулу косинуса двойного угла: cos(2x) = 1 - 2sin²(x). Подставляем в уравнение: 16sin⁴x + 8(1 - 2sin²x) - 7 = 0.

2. Упрощаем: 16sin⁴x - 16sin²x + 8 - 7 = 0, что дает 16sin⁴x - 16sin²x + 1 = 0.

3. Пусть y = sin²x. Тогда уравнение становится квадратным: 16y² - 16y + 1 = 0. Решаем его: y = (16 ± √(256 - 64)) / 32 = (16 ± √192) / 32 = (16 ± 8√3) / 32 = (2 ± √3) / 4.

4. Так как y = sin²x, то 0 ≤ y ≤ 1. Оба значения (2 + √3)/4 ≈ 1.18 и (2 - √3)/4 ≈ 0.31 удовлетворяют этому условию.

5. Находим sin(x): sin(x) = ±√((2 ± √3)/4) = ±(√(2 ± √3))/2.

6. Решаем для x: x = ±arcsin(±(√(2 ± √3))/2) + πn, где n - целое число.