Решите уравнение: 18 / (x^2 - 9) = x / (x+3) + 4 / (x-3)

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \). Общий знаменатель: \( (x-3)(x+3) \).
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (x-3)(x+3) \), предварительно указав ограничения: \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).
3. \( 18 = x(x-3) + 4(x+3) \)
4. Раскроем скобки: \( 18 = x^2 - 3x + 4x + 12 \)
5. Приведём подобные слагаемые: \( 18 = x^2 + x + 12 \)
6. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + x + 12 - 18 = 0 \)
7. \( x^2 + x - 6 = 0 \)
8. Решим полученное квадратное уравнение. Используем теорему Виета: сумма корней равна \(-1\), произведение равно \(-6\). Подходящие числа: \( 2 \) и \(-3\).
9. Проверим корни с учётом ограничений. \( x = 2 \) подходит, так как \( 2 \neq 3 \) и \( 2 \neq -3 \).
10. \( x = -3 \) не подходит, так как оно является ограничением.

Ответ: 2.