Решите уравнение \(2\cos^3 x=\sqrt3\sin^2 x+\cos x\). Найдите \(\cos x\) и запишите в ответ квадрат полученного значения в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Обозначим \(t=\cos x\). Так как \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\), получаем:

\[2t^3=\sqrt3(1-t^2)+t,\]

\[2t^3+\sqrt3t^2-t-\sqrt3=0.\]

Разложим многочлен на множители:

\[(t- \frac{\sqrt3}{2})(2t^2+2\sqrt3t+2)=0.\]

У квадратного множителя дискриминант \(D=(2\sqrt3)^2-4\cdot2\cdot2=-4<0\), поэтому действительных корней у него нет. Следовательно, \(\cos x=t= \frac{\sqrt3}{2}\).

Тогда \((\cos x)^2=( \frac{\sqrt3}{2})^2= frac34=0.75\).

Ответ: 0.75