Решите уравнение 2 cos² х - 7 cos x = 2 sin² х (выучить все тригонометрические формулы в предыдущем занятии)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \). Подставим это в уравнение:

• \( 2 \cos^2 x - 7 \cos x = 2 (1 - \cos^2 x) \)
• \( 2 \cos^2 x - 7 \cos x = 2 - 2 \cos^2 x \)
• \( 2 \cos^2 x + 2 \cos^2 x - 7 \cos x - 2 = 0 \)
• \( 4 \cos^2 x - 7 \cos x - 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

• \( 4y^2 - 7y - 2 = 0 \)

Найдём дискриминант:

• \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 \)
• \( \sqrt{D} = 9 \)

Найдем корни \( y \):

• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \)

Теперь вернемся к \( \cos x \):

• \( \cos x = 2 \) — это уравнение не имеет решений, так как \( \cos x \) может принимать значения только от -1 до 1.
• \( \cos x = -\frac{1}{4} \) — это уравнение имеет решения.

Общее решение данного уравнения:

• \( x = \pm \arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n \)

Ответ: x = ±arccos(- 1 4) + 2πn