Решите уравнение: 2 sin 2x+2sin(-x)-2cos(x)+1 = 0. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

Решение:

1. Упростим уравнение, используя свойства тригонометрических функций: \( \sin(-x) = -\sin(x) \) и \( \cos(-x) = \cos(x) \). Так как \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), то уравнение примет вид: \( 2(2\sin(x)\cos(x)) + 2(-\sin(x)) - 2\cos(x) + 1 = 0 \)
2. Раскроем скобки: \( 4\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x) - 2\cos(x) + 1 = 0 \).
3. Сгруппируем слагаемые: \( (4\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)) - (2\cos(x) - 1) = 0 \).
4. Вынесем общие множители: \( 2\sin(x)(2\cos(x) - 1) - (2\cos(x) - 1) = 0 \).
5. Вынесем общий множитель \( (2\cos(x) - 1) \): \( (2\sin(x) - 1)(2\cos(x) - 1) = 0 \).
6. Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( 2\sin(x) - 1 = 0 \) или \( 2\cos(x) - 1 = 0 \).
7. Решим первое уравнение: \( 2\sin(x) = 1 \) \( \implies \sin(x) = \frac{1}{2} \). Общее решение: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
8. Решим второе уравнение: \( 2\cos(x) = 1 \) \( \implies \cos(x) = \frac{1}{2} \). Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
9. Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{5\pi}{2}; 4\pi] \).
10. Для \( \sin(x) = \frac{1}{2} \):
• При \( n=2 \): \( x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n=3 \): \( x = (-1)^3 \frac{\pi}{6} + 3\pi = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [\frac{15\pi}{6}; \frac{24\pi}{6}] \).
• При \( n=4 \): \( x = (-1)^4 \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку.
11. Для \( \cos(x) = \frac{1}{2} \):
• При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} = \frac{14\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [\frac{15\pi}{6}; \frac{24\pi}{6}] \).
• При \( k=1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( k=2 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} = \frac{26\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( k=2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} = \frac{22\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [\frac{15\pi}{6}; \frac{24\pi}{6}] \).

Ответ: \( \frac{17\pi}{6}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3} \).