Решите уравнение 2 sin(π/4 - 1/2x) + 1 = 0. В ответ укажите количество корней, принадлежащих промежутку [0; 2π].

Решение:

Для начала, преобразуем уравнение:

\[ 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}x\right) + 1 = 0 \]

Вычтем 1 из обеих частей:

\[ 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}x\right) = -1 \]

Разделим обе части на 2:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}x\right) = -\frac{1}{2} \]

Обозначим аргумент синуса как $$y$$: $$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}x$$.

Теперь найдем значения $$y$$, для которых $$\sin(y) = -\frac{1}{2}$$.

Основные значения:

• $$y_1 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ — целое число.
• $$y_2 = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ — целое число.

Подставим обратно $$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}x$$:

Случай 1:

\[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \]

Выразим $$x$$:

\[ -\frac{1}{2}x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

\[ -\frac{1}{2}x = \frac{14\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n \]

\[ -\frac{1}{2}x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n \]

\[ x = -\frac{11\pi}{6} - 4\pi n \]

Случай 2:

\[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \]

Выразим $$x$$:

\[ -\frac{1}{2}x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

\[ -\frac{1}{2}x = \frac{22\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n \]

\[ -\frac{1}{2}x = \frac{19\pi}{12} + 2\pi n \]

\[ x = -\frac{19\pi}{6} - 4\pi n \]

Теперь нужно найти корни, принадлежащие промежутку $$x \in [0; 2\pi]$$.

Рассмотрим первый случай: $$x = -\frac{11\pi}{6} - 4\pi n$$.

Если $$n=0$$, $$x = -\frac{11\pi}{6}$$ (не подходит).

Если $$n=-1$$, $$x = -\frac{11\pi}{6} + 4\pi = \frac{-11\pi + 24\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$$ (не подходит, больше $$2\pi$$).

Таким образом, в первом случае нет корней в заданном промежутке.

Рассмотрим второй случай: $$x = -\frac{19\pi}{6} - 4\pi n$$.

Если $$n=0$$, $$x = -\frac{19\pi}{6}$$ (не подходит).

Если $$n=-1$$, $$x = -\frac{19\pi}{6} + 4\pi = \frac{-19\pi + 24\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$ (подходит, т.к. $$0 \le \frac{5\pi}{6} \le 2\pi$$).

Если $$n=-2$$, $$x = -\frac{19\pi}{6} + 8\pi = \frac{-19\pi + 48\pi}{6} = \frac{29\pi}{6}$$ (не подходит).

Второй случай дает один корень $$\frac{5\pi}{6}$$.

Важно: Замена аргумента $$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}x$$ может ввести в заблуждение. Давайте перепишем уравнение в виде $$\sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$$, так как $$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$$.

Тогда:

• $$\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ => $$\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$$ => $$x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi n$$.
• $$\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$ => $$\frac{1}{2}x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{10\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n$$ => $$x = \frac{13\pi}{6} + 4\pi n$$.

Теперь найдем корни в промежутке $$[0; 2\pi]$$.

Для $$x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi n$$:

• При $$n=0$$: $$x = \frac{5\pi}{6}$$. Этот корень принадлежит промежутку.

Для $$x = \frac{13\pi}{6} + 4\pi n$$:

• При $$n=0$$: $$x = \frac{13\pi}{6}$$ (больше $$2\pi$$).

Единственный корень в промежутке $$[0; 2\pi]$$ — это $$x = \frac{5\pi}{6}$$.

Ответ: 1