Решите уравнение √2-x+√x + 3 = 3

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{2-x} + \sqrt{x+3} = 3 \).

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
• \( 2-x \ge 0 \implies x \le 2 \)
• \( x+3 \ge 0 \implies x \ge -3 \)
• Следовательно, ОДЗ: \( -3 \le x \le 2 \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{2-x} + \sqrt{x+3})^2 = 3^2 \)

\( (2-x) + (x+3) + 2\sqrt{(2-x)(x+3)} = 9 \)

\( 5 + 2\sqrt{-x^2 - x + 6} = 9 \)

\( 2\sqrt{-x^2 - x + 6} = 4 \)

\( \sqrt{-x^2 - x + 6} = 2 \)

3. Снова возведём обе части в квадрат:

\( -x^2 - x + 6 = 4 \)

\( -x^2 - x + 2 = 0 \)

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

4. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
• \( x_1 + x_2 = -1 \)
• \( x_1 \cdot x_2 = -2 \)
• Подбираем корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \).
5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ \( -3 \le x \le 2 \):
• \( x = 1 \): \( -3 \le 1 \le 2 \) (верно).
• \( x = -2 \): \( -3 \le -2 \le 2 \) (верно).
6. Подставим найденные значения в исходное уравнение для окончательной проверки:
• При \( x = 1 \): \( \sqrt{2-1} + \sqrt{1+3} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \) (верно).
• При \( x = -2 \): \( \sqrt{2-(-2)} + \sqrt{-2+3} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3 \) (верно).

Ответ: 1; -2.