Решите уравнение: 23.2. а) 6 cos² x + cos x − 1 = 0; б) 2 cos² 3x − 5 cos 3x − 3 = 0; в) 2 cos² x − cos x − 3 = 0; г) 2 cos²(x/3) + 3 cos(x/3) − 2 = 0.

Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\).

1. а) Обозначим \(t=\cos x\). Тогда \(6t^2+t-1=0\), то есть \((3t-1)(2t+1)=0\). Получаем \(t=\frac13\) или \(t=-\frac12\); оба значения допустимы для косинуса. Поэтому \(x=\pm\arccos\frac13+2\pi k\) или \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\).
2. б) Пусть \(t=\cos 3x\). Уравнение принимает вид \(2t^2-5t-3=0\), откуда \((2t+1)(t-3)=0\). Значение \(t=3\) невозможно, значит \(\cos 3x=-\frac12\). Тогда \(3x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), и \(x=\pm\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\).
3. в) Пусть \(t=\cos x\). Тогда \(2t^2-t-3=0\), откуда \(t=\frac32\) или \(t=-1\). Значение \(\frac32\) невозможно, поэтому \(\cos x=-1\) и \(x=\pi+2\pi k\).
4. г) Пусть \(t=\cos\frac{x}{3}\). Получаем \(2t^2+3t-2=0\), откуда \((2t-1)(t+2)=0\). Значение \(t=-2\) невозможно; значит, \(\cos\frac{x}{3}=\frac12\). Тогда \(\frac{x}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\), и \(x=\pm\pi+6\pi k\).

Ответ: а) \(x=\pm\arccos\frac13+2\pi k\) или \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\); б) \(x=\pm\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\); в) \(x=\pi+2\pi k\); г) \(x=\pm\pi+6\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).