Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\).
- а) Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\): \(2(1-\cos^2x)+3\cos x=0\), откуда \(2\cos^2x-3\cos x-2=0\). Корни: \(\cos x=2\) и \(\cos x=-\frac12\). Первый невозможен, поэтому \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\).
- б) Обозначим \(t=\cos 2x\) и подставим \(\sin^2 2x=1-t^2\): \(8(1-t^2)+t+1=0\), то есть \(8t^2-t-9=0\). Корни: \(t=\frac98\) и \(t=-1\). Первый невозможен, значит, \(\cos 2x=-1\). Отсюда \(2x=\pi+2\pi k\), поэтому \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\).
- в) Положим \(s=\sin x\) и заменим \(\cos^2x=1-s^2\): \(5(1-s^2)+6s-6=0\), или \(5s^2-6s+1=0\). Получаем \(s=1\) или \(s=\frac15\). Следовательно, \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), либо \(x=\arcsin\frac15+2\pi k\), либо \(x=\pi-\arcsin\frac15+2\pi k\).
- г) Обозначим \(t=\sin 3x\) и используем \(\cos^2 3x=1-t^2\): \(4t+1-t^2=4\), откуда \(t^2-4t+3=0\). Корни \(t=1\) и \(t=3\); второй невозможен. Поэтому \(\sin 3x=1\), то есть \(3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), и \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\).
Ответ: а) \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\); б) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\); в) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(x=\arcsin\frac15+2\pi k\) или \(x=\pi-\arcsin\frac15+2\pi k\); г) \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb Z\).
