Решите уравнение: 26 cos²x - 23 cos x + 5 -------------------- = 0. 13 sin x - 12 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π/2; -π].

Решение:

Запишем условие для знаменателя: \( 13 \sin x - 12 \neq 0 \), то есть \( \sin x \neq \frac{12}{13} \).

Числитель должен быть равен нулю: \( 26 \cos^2 x - 23 \cos x + 5 = 0 \).

Сделаем замену: \( t = \cos x \). Получим квадратное уравнение: \( 26t^2 - 23t + 5 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-23)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 5 = 529 - 520 = 9 \).

Найдем корни квадратного уравнения:

\( t_1 = \frac{23 + \sqrt{9}}{2 \cdot 26} = \frac{23 + 3}{52} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \)

\( t_2 = \frac{23 - \sqrt{9}}{2 \cdot 26} = \frac{23 - 3}{52} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13} \)

Теперь вернемся к замене:

1) \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Корни: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2) \( \cos x = \frac{5}{13} \)

Корни: \( x = \pm \arccos{\frac{5}{13}} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Проверим условие \( \sin x \neq \frac{12}{13} \).

Если \( \cos x = \frac{1}{2} \), то \( \sin^2 x = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \). Значит, \( \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \). Это не равно \( \frac{12}{13} \).

Если \( \cos x = \frac{5}{13} \), то \( \sin^2 x = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \). Значит, \( \sin x = \pm \frac{12}{13} \). В этом случае, так как \( \sin x \neq \frac{12}{13} \), решения \( x = \arccos{\frac{5}{13}} + 2\pi k \) и \( x = -\arccos{\frac{5}{13}} + 2\pi k \) не подходят.

Остаются корни \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \). Нам нужен промежуток \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \).

Рассмотрим \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi - 6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \). Это значение находится в промежутке \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \) (так как \( -2.5\pi \le -1.66\pi \le -1\pi \)).

Рассмотрим \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{-\pi - 6\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3} \). Это значение не находится в промежутке \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \) (так как \( -2.33\pi \) больше \( -2.5\pi \)).

При \( n = -2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{-\pi - 12\pi}{3} = -\frac{13\pi}{3} \). Это значение не находится в промежутке.

Ответ: \( x = -\frac{5\pi}{3} \).