Решите уравнение (2х-7)²= (3x-2)². 13 ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2

Привет! Давай разберем это уравнение вместе.

У нас есть уравнение:

\[ (2x-7)^2 = (3x-2)^2 \]

Есть два способа его решить:

Способ 1: Раскрытие скобок

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$.

1. Левая часть:\[ (2x-7)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 - 28x + 49 \]
2. Правая часть:\[ (3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4 \]
3. Приравниваем:\[ 4x^2 - 28x + 49 = 9x^2 - 12x + 4 \]
4. Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:\[ 0 = 9x^2 - 4x^2 - 12x + 28x + 4 - 49 \]
5. Приводим подобные слагаемые:\[ 0 = 5x^2 + 16x - 45 \]
6. Теперь решаем квадратное уравнение $$5x^2 + 16x - 45 = 0$$. Найдем дискриминант (D):\[ D = b^2 - 4ac \]где $$a=5$$, $$b=16$$, $$c=-45$$.
7. \[ D = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) \]
8. \[ D = 256 + 900 \]
9. \[ D = 1156 \]
10. Найдем $$\sqrt{D}$$:\[ \sqrt{1156} = 34 \]
11. Найдем корни уравнения:\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 34}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1.8 \]
12. \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 34}{2 \cdot 5} = \frac{-50}{10} = -5 \]

Способ 2: Через разность квадратов

Уравнение вида $$a^2 = b^2$$ можно переписать как $$a^2 - b^2 = 0$$, что раскладывается на $$(a-b)(a+b)=0$$.

1. Применим это к нашему уравнению:\[ (2x-7)^2 - (3x-2)^2 = 0 \]
2. Раскроем скобки $$(a-b)$$ и $$(a+b)$$:\[ ((2x-7) - (3x-2)) \cdot ((2x-7) + (3x-2)) = 0 \]
3. Упростим выражения в каждой скобке:\[ (2x - 7 - 3x + 2) \cdot (2x - 7 + 3x - 2) = 0 \]
4. \[ (-x - 5) \cdot (5x - 9) = 0 \]
5. Теперь у нас два множителя, произведение которых равно нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей равен нулю:\[ -x - 5 = 0 \] или\[ 5x - 9 = 0 \]
6. Решаем первое уравнение:\[ -x = 5 \]
7. \[ x_1 = -5 \]
8. Решаем второе уравнение:\[ 5x = 9 \]
9. \[ x_2 = \frac{9}{5} = 1.8 \]

Оба способа дали одинаковые корни. Это хорошо!

Ответ: $$x_1 = -5$$, $$x_2 = 1.8$$