Решите уравнение: 2log4(x-2) - 3 log4(x-2) - 2 = 0. Если корней несколько, то в ответе укажите их произведение.

Решение:

Заменим \( \log_4(x-2) \) на \( y \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 3y - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

Теперь вернемся к замене \( y = \log_4(x-2) \).

1. \( \log_4(x-2) = 2 \)

По определению логарифма:

\[ x-2 = 4^2 \]

\[ x-2 = 16 \]

\[ x = 18 \]

Проверка: \( x-2 = 18-2 = 16 > 0 \), значит, корень подходит.

2. \( \log_4(x-2) = -0.5 \)

По определению логарифма:

\[ x-2 = 4^{-0.5} \]

\[ x-2 = \frac{1}{4^{0.5}} \]

\[ x-2 = \frac{1}{\sqrt{4}} \]

\[ x-2 = \frac{1}{2} \]

\[ x = 2 + 0.5 \]

\[ x = 2.5 \]

Проверка: \( x-2 = 2.5-2 = 0.5 > 0 \), значит, корень подходит.

Уравнение имеет два корня: \( x_1 = 18 \) и \( x_2 = 2.5 \).

Если корней несколько, то в ответе укажите их произведение:

\[ 18 \cdot 2.5 = 45 \]

Ответ: 45