Решите уравнение (2x+7)^2 = (2x−1)^2

Чтобы решить это уравнение, мы можем раскрыть скобки с обеих сторон:

Левая часть:

\[(2x+7)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49\]

Правая часть:

\[(2x-1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1\]

Теперь приравняем раскрытые выражения:

\[4x^2 + 28x + 49 = 4x^2 - 4x + 1\]

Вычтем 4x^2 из обеих частей уравнения:

\[28x + 49 = -4x + 1\]

Перенесем члены с x в левую часть, а числовые значения — в правую:

\[28x + 4x = 1 - 49\]

\[32x = -48\]

Найдем x:

\[x = \frac{-48}{32}\]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 16:

\[x = -\frac{3}{2}\]

Альтернативный способ (через разность квадратов):

Перенесем все в одну сторону:

\[(2x+7)^2 - (2x-1)^2 = 0\]

Используем формулу разности квадратов $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$:

\[((2x+7) - (2x-1))((2x+7) + (2x-1)) = 0\]

\[(2x+7-2x+1)(2x+7+2x-1) = 0\]

\[(8)(4x+6) = 0\]

Это уравнение верно, если один из множителей равен нулю. 8 не равно нулю, значит:

\[4x+6 = 0\]

\[4x = -6\]

\[x = -\frac{6}{4}\]

\[x = -\frac{3}{2}\]

Ответ: -3/2