Решите уравнение: 3 · 6^2x + 7 · 6^x - 10 = 0

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( 6^x \).

1. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 6^x \). Тогда \( 6^{2x} = (6^x)^2 = y^2 \).
2. Подставим замену в уравнение: \( 3y^2 + 7y - 10 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 · 3 · (-10) = 49 + 120 = 169 \).
4. Найдем корни квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 · 3} = \frac{-7 + 13}{6} = \frac{6}{6} = 1 \). \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 · 3} = \frac{-7 - 13}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \).
5. Вернёмся к замене \( y = 6^x \).
6. Рассмотрим случай \( y_1 = 1 \): \( 6^x = 1 \). Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому \( x = 0 \).
7. Рассмотрим случай \( y_2 = -\frac{10}{3} \): \( 6^x = -\frac{10}{3} \). Экспоненциальная функция \( 6^x \) всегда принимает только положительные значения. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 0.