Решите уравнение \(3\tan 3x-\cot 2x=4\tan x\).

Область допустимых значений: \(\cos 3x
e0\), \(\sin 2x
e0\), \(\cos x
e0\).

Используем формулу \(\tan 3x=\dfrac{\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}\) и обозначим \(t=\tan x\). Также \(\cot 2x=\dfrac{1-t^2}{2t}\). Тогда

\[3\frac{t-t^3}{1-3t^2}-\frac{1-t^2}{2t}=4t.\]

Умножая на \(2t(1-3t^2)\), получаем

\[6t^2(1-t^2)-(1-t^2)(1-3t^2)=8t^2(1-3t^2).\]

После упрощения:

\[15t^4-11t^2-1=0.\]

Пусть \(y=t^2\). Тогда \(15y^2-11y-1=0\), откуда

\[y=\frac{11\pm\sqrt{181}}{30}.\]

Так как \(y=t^2\ge0\), подходит только \(y=\dfrac{11+\sqrt{181}}{30}\). Следовательно,

\[\tan^2x=\frac{11+\sqrt{181}}{30},\qquad \tan x=\pm\sqrt{\frac{11+\sqrt{181}}{30}}.\]

Ответ: \(x=\pi k\pm\arctan\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{181}}{30}},\ k\in\mathbb Z\).