Решите уравнение 3x⁴ - 13x² + 4 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 3y^2 - 13y + 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его, найдя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \):

1. \( x^2 = y_1 = 4 \)

\[ x = \pm \sqrt{4} \]

\[ x = \pm 2 \]

2. \( x^2 = y_2 = \frac{1}{3} \)

\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \]

\[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: \( x = \pm 2, x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \).