Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Решите уравнение: 4 cos³ х - 8 sin²x - 3 sin (3π/2 - x) + 8 = 0. Найдите корни, принадлежащие отрезку [7π/2; 5π].
Ответ:
Решение:
Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества.
- Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \):
\( 4 \cos^3 x - 8 (1 - \cos^2 x) - 3 \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + 8 = 0 \) - Используем формулу приведения \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = -\cos x \):
\( 4 \cos^3 x - 8 + 8 \cos^2 x - 3(-\cos x) + 8 = 0 \) - Упростим выражение:
\( 4 \cos^3 x + 8 \cos^2 x + 3 \cos x = 0 \) - Вынесем \( \cos x \) за скобки:
\( \cos x (4 \cos^2 x + 8 \cos x + 3) = 0 \) - Это означает, что либо \( \cos x = 0 \), либо \( 4 \cos^2 x + 8 \cos x + 3 = 0 \).
- Рассмотрим первое условие: \( \cos x = 0 \).
Корни этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число. - Рассмотрим второе условие: \( 4 \cos^2 x + 8 \cos x + 3 = 0 \).
Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Пусть \( y = \cos x \). Тогда \( 4y^2 + 8y + 3 = 0 \). - Решим квадратное уравнение:
\[ y = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{-8 \pm 4}{8} \] - Получаем два значения для \( y = \cos x \):
\[ y_1 = \frac{-8 + 4}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \] и \[ y_2 = \frac{-8 - 4}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \] - Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), то \( \cos x = -\frac{3}{2} \) не имеет решений.
- Решаем \( \cos x = -\frac{1}{2} \).
Общие корни этого уравнения: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число. - Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{7\pi}{2}; 5\pi] \).
Переведём границы отрезка в десятичную дробь для удобства: \( \frac{7\pi}{2} \approx 3.5 \pi \), \( 5\pi \). Отрезок: \( [3.5\pi; 5\pi] \). - Проверим корни из \( \cos x = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).
При \( n = 4 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi \). Этот корень принадлежит отрезку. - Проверим корни из \( \cos x = -\frac{1}{2} \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \).
Рассмотрим \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \):
При \( k = 2 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \). \( \frac{14\pi}{3} \approx 4.67\pi \). Этот корень принадлежит отрезку. - Рассмотрим \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \):
При \( k = 2 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \). \( \frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi \). Этот корень НЕ принадлежит отрезку. - При \( k = 3 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 6\pi = \frac{16\pi}{3} \). \( \frac{16\pi}{3} \approx 5.33\pi \). Этот корень НЕ принадлежит отрезку.
- Проверим ещё раз корни вида \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) для k=2.
\(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(2) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{-2\pi + 12\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}\). \( \frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi \). Этот корень НЕ принадлежит отрезку. - Проверим корни вида \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) для k=2.
\( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(2) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi + 12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3}\). \( \frac{14\pi}{3} \approx 4.67\pi \). Этот корень принадлежит отрезку. - Повторно проверим корни вида \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) для n=4.
\( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi + 8\pi}{2} = \frac{9\pi}{2}\). \( \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
Ответ: \( \frac{9\pi}{2} \), \( \frac{14\pi}{3} \).
